Exercice au choix - Exercice B · Bac Mathématiques Polynésie 2021 (jour 1)

EXERCICE B

Principaux domaines abordés

Fonction logarithme népérien, dérivation.

Cet exercice est composé de deux parties. Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième.

Partie 1: Étude d'une fonction auxiliaire

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1; 4]$ par: $$f(x) = -30x + 50 + 35 \ln x$$

1. a)

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[1; 4]$, montrer que: $$f'(x) = \frac{35 - 30x}{x}$$

1. b)

Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1; 4]$.

1. c)

En déduire les variations de $f$ sur ce même intervalle.

2.

Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[1; 4]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

3.

Dresser le tableau de signe de $f(x)$ pour $x \in [1; 4]$.

Partie 2: Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour $x$ milliers de litres vendus, avec $x$ nombre réel de l'intervalle $[1; 4]$, l'analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice $B(x)$ par l'expression donnée en milliers d'euros par: $$B(x) = -15x^2 + 15x + 35x \ln x$$

1.

D'après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend 2 500 litres de jus de fruits. On donnera une valeur approchée à l'euro près de ce bénéfice.

€

2.

Pour tout $x$ de l'intervalle $[1; 4]$, montrer que $B'(x) = f(x)$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$.

3. a)

À l'aide des résultats de la partie 1, donner les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[1; 4]$.

3. b)

En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l'entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.

litres