Exercice 2 · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 2)

1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de f, ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.

Réponse : Par lecture graphique, il semble que $f$ soit croissante sur $]2\,;+\infty[$, que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$ et que $\lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x>2}} f(x) = -\infty$. Ainsi, $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x = 2$.

2. Résoudre l'équation f(x) = 0 sur ]2 ; +∞[.

Réponse : 3

3. Calculer lim f(x) quand x -> 2 (x > 2).

Réponse : -\infty

3. Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1. ?

Réponse : Ce résultat est en accord avec la conjecture faite en question 1 ($\\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}} f(x) = -\infty$ et existence d'une asymptote verticale d'équation $x = 2$).

4. Démontrer que pour tout x appartenant à ]2 ; +∞[ : f'(x) = ln(x-2) + x/(x-2).

Réponse : Soit $h : x \mapsto \ln(x-2)$. On pose pour $x \in ]2\,;+\infty[$, $u(x) = x-2$. Ainsi, pour tout $x \in ]2\,;+\infty[$, $h(x) = \ln(u(x))$. Donc, $h$ est dérivable sur $]2\,;+\infty[$ et $h'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{1}{x-2}$. Donc, $f$ est dérivable sur $]2\,;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables. Pour tout $x \in ]2\,;+\infty[$ : $$f'(x) = 1 \times \ln(x-2) + x \times \frac{1}{x-2} = \ln(x-2) + \frac{x}{x-2}.$$

5.a. Démontrer que pour tout x appartenant à ]2 ; +∞[, on a : g'(x) = (x-4)/(x-2)^2.

Réponse : On réutilise la dérivation de la fonction $h$ faite précédemment. Ainsi, $g$ est dérivable sur $]2\,;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables. Pour tout $x \in ]2\,;+\infty[$ : $$g'(x) = \frac{1}{x-2} + \frac{1 \times (x-2) - x \times 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x}{(x-2)^2} + \frac{1}{x-2} = \frac{x-2-2}{(x-2)^2} = \frac{x-4}{(x-2)^2}.$$

5.b. Valeur exacte de l'extremum de la fonction g :

Réponse : \ln(2) + 2

5.b. Tableau des variations de la fonction g sur ]2 ; +∞[ :

Réponse : Pour tout $x \in ]2\,;+\infty[$, $\frac{1}{(x-2)^2} > 0$ donc $g'(x)$ est du signe de $x-4$ sur $]2\,;+\infty[$. Pour tout $x \in ]2\,;+\infty[$, $x-4 = 0 \iff x = 4$. On en déduit le signe de $x-4$ (signe d'une fonction affine de coefficient directeur $1 > 0$). La fonction $g$ est strictement décroissante sur $]2\,;4]$ et strictement croissante sur $[4\,;+\infty[$, avec pour minimum $\ln(2)+2$.

5.c. En déduire que, pour tout x appartenant à ]2 ; +∞[, g(x) > 0.

Réponse : On a $\ln(2) + 2 \approx 2{,}69 > 0$. Or, d'après le tableau de variations ci-dessus, pour tout $x \in ]2\,;+\infty[$, $g(x) \ge \ln(2) + 2$. Donc, pour tout $x \in ]2\,;+\infty[$, $g(x) > 0$.

5.d. Sens de variation de la fonction f sur ]2 ; +∞[.

Réponse : Strictement croissante

5.d. Justification du sens de variation de f :

Réponse : Puisque $f'(x) = g(x) > 0$ sur $]2\,;+\infty[$, $f$ est strictement croissante sur $]2\,;+\infty[$.

6. Abscisse du point d'inflexion :

Réponse : 4

6. Ordonnée du point d'inflexion :

Réponse : 4\ln(2)

6. Étude de la convexité de la fonction f :

Réponse : La fonction $f'' = g'$ est, d'après le tableau question 5.b, négative sur $]2\,;4]$ et positive sur $[4\,;+\infty[$. Ainsi, la fonction $f$ est concave sur $]2\,;4]$ et convexe sur $[4\,;+\infty[$. La fonction $f''$ s'annule en changeant de signe en 4. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc pour point d'inflexion le point d'abscisse 4, de coordonnées $(4\,; 4\ln(2))$.

7. Combien de valeurs de x existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de f admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 ?

Réponse : 2

7. Justification du nombre de valeurs de x :

Réponse : On cherche les solutions de l'équation $f'(x) = 3 \iff g(x) = 3$. D'après le tableau de variations de la question 5.b, la fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]2\,;4[$. $\lim\limits_{\substack{x\to 2 \\ x>2}} g(x) = +\infty$, $g(4) = \ln(2)+2$ et $3 \in ]\ln(2)+2\,; +\infty[$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 3$ admet une unique solution sur $]2\,;4[$. La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur $[4\,;+\infty[$. $g(4) = \ln(2)+2$, $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x) = +\infty$ et $3 \in [\ln(2)+2\,; +\infty[$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 3$ admet une unique solution sur $[4\,;+\infty[$. Les deux intervalles traités ci-dessus sont disjoints et leur union est $]2\,;+\infty[$. Donc, l'équation $g(x) = 3$ admet exactement deux solutions sur $]2\,;+\infty[$. Ainsi, il existe exactement deux valeurs de $x$ pour lesquelles $\mathcal{C}_f$ admet une tangente de coefficient directeur 3.