Exercice au choix - Exercice A · Bac Mathématiques Polynésie 2021 (jour 1)

Principaux domaines abordés: Fonction exponentielle, convexité, dérivation, équations différentielles.

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$:

On considère les points $A(0; 2)$ et $B(2; 0)$.

Partie 1

Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par $A$ et que la droite $(AB)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, donner par lecture graphique:

1.

La valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.

2.

Partie 2

On note $(E)$ l'équation différentielle $y' = -y + \mathrm{e}^{-x}$.

On admet que $g: x \mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$.

1.

2.

3.

Partie 3

On admet que pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$.

1.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

a.

b.

Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbf{R}$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $\mathbf{R}$.

On ne précisera ni la limite de $f$ en $-\infty$ ni la limite de $f$ en $+\infty$.

2.

On rappelle que $f''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.

a.

b.