Exercice 2 - Modèle 2 : étude de fonction et conv… · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2025

1. Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0) = 50$ et que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 0{,}05f(x)(1 - 0{,}00125f(x))$

Réponse : Pour la condition initiale : $$f(0) = \frac{800}{1 + 15\mathrm{e}^0} = \frac{800}{16} = 50$$ Pour l'équation différentielle, d'après le tableau du logiciel : $$f'(x) = \frac{600\mathrm{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\mathrm{e}^{-0{,}05x})^2}$$ Or : $$\frac{f(x)}{800} = \frac{1}{1 + 15\mathrm{e}^{-0{,}05x}} \implies 1 - \frac{f(x)}{800} = \frac{15\mathrm{e}^{-0{,}05x}}{1 + 15\mathrm{e}^{-0{,}05x}}$$ En multipliant ces deux expressions : $$\frac{f(x)}{800}\left(1 - \frac{f(x)}{800}\right) = \frac{15\mathrm{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\mathrm{e}^{-0{,}05x})^2}$$ En multipliant par $800 \times 0{,}05 = 40$ : $$0{,}05f(x)\left(1 - \frac{f(x)}{800}\right) = \frac{600\mathrm{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\mathrm{e}^{-0{,}05x})^2} = f'(x)$$ Comme $\frac{1}{800} = 0{,}00125$, on obtient bien : $$f'(x) = 0{,}05f(x)(1 - 0{,}00125f(x))$$

2. Avec ce nouveau modèle $f$, estimer l'effectif de cette population en 2050. Arrondir le résultat à l'unité.

Réponse : 359

3. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.

Réponse : 800

3. Que peut-on en déduire quant à la courbe $\mathcal{C}$ ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret.

Réponse : La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = 800$ au voisinage de $+\infty$. La population se stabilise à une capacité limite d'environ 800 individus.

4. Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Réponse : D'après l'expression de la dérivée donnée par le logiciel : $$f'(x) = \frac{600\mathrm{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\mathrm{e}^{-0{,}05x})^2}$$ Pour tout $x \geq 0$, $\mathrm{e}^{-0{,}05x} > 0$ et le dénominateur est un carré strictement positif, donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

5. Démontrer le résultat obtenu en ligne 4 du logiciel.

Réponse : $$15\mathrm{e}^{-0{,}05x} - 1 \geq 0 \iff 15\mathrm{e}^{-0{,}05x} \geq 1 \iff \mathrm{e}^{-0{,}05x} \geq \frac{1}{15} \iff -0{,}05x \geq -\ln(15) \iff x \leq \frac{\ln(15)}{0{,}05} = 20\ln(15)$$

6. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.

Réponse : $f$ est convexe sur $[0\,;\,20\ln(15)]$ et concave sur $[20\ln(15)\,;\,+\infty[$. Le point d'inflexion est $(20\ln(15)\,;\,400)$.

6. b. La direction a-t-elle raison ? Justifier.

Réponse : Oui, la direction a raison. La vitesse de croissance $f'$ est croissante là où $f$ est convexe (pour $x < 20\ln(15)$), puis décroissante là où $f$ est concave (pour $x > 20\ln(15)$). Or $20\ln(15) \approx 54{,}16$ ans, soit un peu plus de 50 ans.