Exercice 2 - Partie B · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2023

Exercice 2 (6 points) — Thème: fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $$f(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-x} + x.$$

Partie B

On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, ayant une expression de la forme $h(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{-x} + x$, où $a$ et $b$ sont deux réels.

Dans un repère orthonormé ci-après figurent:

la courbe représentative de la fonction $h$;

les points A et B de coordonnées respectives $(-2\,;\,-2{,}5)$ et $(2\,;\,3{,}5)$.

1.

Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$.

2.

Sachant que la fonction $h$ admet sur $\mathbb{R}$ une dérivée seconde d'expression

$$h''(x) = -\frac{3}{2}\mathrm{e}^{-x} + x\mathrm{e}^{-x},$$

valider ou non la conjecture précédente.

3.

Déterminer une équation de la droite (AB).

4.

Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d'abscisse 0, en déduire les valeurs de $a$ et $b$.