Aufgabengruppe 2 · Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Stochastik 2025

Thema: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Aus der Prüfung LK · Teil A · Stochastik (2025)

Aufgabenstellung

Die Zufallsgröße XX ist binomialverteilt mit den Parametern nn und pp mit p<1p < 1. Es ist bekannt, dass P(X=1)P(X = 1) vierzehnmal so groß ist wie P(X=0)P(X = 0) und dass der Erwartungswert von XX gleich 1010 ist.

a

Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße XX gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an. Begründen Sie, dass P(X=10)=P(X=15)P(X = 10) = P(X = 15) ist. [2 BE]

b

Nun wird der Würfel nn-mal geworfen, wobei nn größer als 2 ist. Ermitteln Sie einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der nn erzielten Zahlen ist 2, 3 oder 5.“ [3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 · Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Stochastik 2025

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße X gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an. Begründen Sie, dass P(X = 10) = P(X = 15) ist.

Lösung: Bis auf Vertauschung der Faktoren sind 2⋅52\cdot 5 und 3⋅53\cdot 5 die einzigen Möglichkeiten, 10 bzw. 15 als Produkt aus zwei erzielten Zahlen darzustellen. Somit sind die betrachteten Wahrscheinlichkeiten gleich groß.

b Nun wird der Würfel n-mal geworfen, wobei n größer als 2 ist. Ermitteln Sie einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der n erzielten Zahlen ist 2, 3 oder 5.“

Lösung: 3⋅n⋅16⋅(16)n−13\cdot n\cdot \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{n-1} / 3n⋅(16)n3n\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^n / 3n6n\frac{3n}{6^n}

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