Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2021 · Setembre Serie 1

1. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} x + ky + z = 3 + k \\ kx + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}$$

a)

Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $k$. [1,25 punts]

b)

Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $k = 1$, i feu-ne una interpretació geomètrica. [1,25 punts]

Donada la funció $f(x) = \dfrac{4}{x}$:

a)

Donada la funció $f(x)=\frac{4}{x}$, calculeu l'equació de la recta tangent a $y=f(x)$ en el punt d'abscissa $x=1$. Trobeu també l'equació de la recta normal a $y=f(x)$ en aquest mateix punt. [1,25 punts]

Donada la funció $f(x) = \dfrac{4}{x}$:

b)

Feu un esbós de les gràfiques de la corba $y = f(x)$ i de la recta $4x + y = 8$, i calculeu l'àrea delimitada per aquestes dues gràfiques, l'eix de les abscisses i la recta vertical $x = 3$.

[1,25 punts]

$\text{u}^2$

En $\mathbb{R}^3$ es donen els punts $A = (3, 1, 1)$, $B = (0, 0, 1)$, $C = (4, 1, 2)$ i $D = (1, 1, t)$, en què $t$ és un valor real.

a)

Per a quin valor de $t$ els quatre punts són coplanaris? [1 punt]

$t =$

b)

Trobeu el valor de $t$ per tal que el tetraedre (irregular) que formen els quatre punts tingui un volum de $5\text{ u}^3$. [1,5 punts]

NOTA: El volum d'un tetraedre definit pels vectors $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$ i $\mathbf{v}_3$ és igual a un sisè del valor absolut del determinant de la matriu formada per tots tres vectors, $$V = \frac{1}{6}\left|\det(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)\right|.$$

$t_1 =$

$t_2 =$

a)

En la figura es mostra la gràfica de la funció $f(x)$. Representeu de manera esquemàtica la gràfica de la funció derivada de $f(x)$. Expliqueu el raonament que heu seguit. [1,25 punts]

b)

Calculeu els valors de $a$ i $b$ perquè la funció $g(x) = ax^3 + bx^2 + 1$ tingui un punt d'inflexió en $x = \frac{1}{2}$ i la seva derivada en aquest punt sigui $\frac{-3}{2}$. [1,25 punts]

5. Sigui la matriu $$A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{pmatrix},$$ en què $a$ és un paràmetre real.

a)

Trobeu per a quins valors de $a$ la matriu $A$ és invertible. [1 punt]

b)

Comproveu que, per al cas $a = 3$, la matriu $A$ és invertible i resoleu l'equació matricial $A X = B - 3I$, en què $B$ és la matriu $$B = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.$$ [1,5 punts]

Considereu la funció $f(x) = \dfrac{x^3}{x - 2}$.

a)

Estudieu si té punts crítics i, en cas que en tingui, justifiqueu de quin tipus són. Determineu també quins són els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,5 punts]

Considereu la funció $f(x) = \dfrac{x^3}{x - 2}$.

b)

Comproveu que l'equació $f(x) = 0$ té una ónica solució en l'interval $(-2, 1)$. [1 punt]