Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2021 · Juny Serie 2

Considereu la paràbola $y = 4 - x^2$ i un valor $a > 0$.

a)

Comproveu que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la paràbola en el punt d'abscissa $x = a$ és $y = -2ax + a^2 + 4$ i calculeu els punts de tall d'aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades.

[1,25 punts]

b)

Calculeu el valor de $a > 0$ perquè l'àrea del triangle determinat per aquesta recta tangent i els eixos de coordenades sigui mínima.

[1,25 punts]

2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $p$:

$$\begin{cases} px + y + z = 2 \\ 2x + py + p^2 z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$

a)

Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $p$. [1,5 punts]

b)

Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $p = 2$. [1 punt]

3. Considereu el punt $P=(-1, 3, 1)$, el pla $\pi: x = y$ i la recta $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = z-2$.

a)

Trobeu les coordenades del punt $P'$ simètric a $P$ respecte al pla $\pi$.

[1,25 punts]

(

,

,

)

b)

De tots els plans que contenen la recta $r$, trobeu l'equació cartesiana del que és perpendicular al pla $\pi$.

[1,25 punts]

Sigui la funció $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ definida en el domini $x > 0$, en què $\ln$ és el logaritme neperià.

a)

Trobeu les coordenades d'un punt de la corba $y=f(x)$ en el qual la recta tangent a la corba sigui horitzontal i analitzeu si la funció té un extrem relatiu en aquest punt.

[1 punt]

Sigui la funció $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ definida en el domini $x > 0$, en què $\ln$ és el logaritme neperià.

b)

Determineu si la funció $f(x)$ té alguna asímptota horitzontal.

[0,5 punts]

Sigui la funció $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ definida en el domini $x > 0$, en què $\ln$ és el logaritme neperià.

c)

Calculeu l'àrea de la regió delimitada per la corba $y=f(x)$ i les rectes $x=1$ i $x=\mathrm{e}$. Feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció en el domini $0 < x < 5$, en què quedi representada l'àrea que heu calculat.

[1 punt]

Qüestió 5

a)

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, resoleu l'equació matricial $A^2 X = A - 3I$, en què $I$ és la matriu identitat.

[1,25 punts]

$X =$

b)

Una matriu quadrada $M$ satisfà que $M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0$, en què $I$ és la matriu identitat. Justifiqueu que $M$ és invertible i expresseu la inversa de $M$ en funció de les matrius $M$ i $I$.

[1,25 punts]

$M^{-1} =$

6. Considereu la funció $f(x) = \mathrm{e}^{x-1} - x - 1$.

a)

Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. [1,25 punts]

b)

Demostreu que l'equació $f(x) = 0$ té exactament dues solucions entre $x = -1$ i $x = 3$. [1,25 punts]