Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2021 · Juny Serie 5

Considereu les matrius $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ i $C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$.

a)

Raoneu que la matriu $B$ és invertible i després calculeu $B^{-1}$. [1,25 punts]

$B^{-1} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}}\right)$

b)

Calculeu la matriu $X$ que satisfà la igualtat $A + B \cdot X = C \cdot A$. [1,25 punts]

$X = \left(\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}}\right)$

Siguin les funcions $f(x) = x^3 - 9x$ i $g(x) = 7x$.

a)

Estudieu els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$. [1,25 punts]

Siguin les funcions $f(x) = x^3 - 9x$ i $g(x) = 7x$.

b)

Calculeu l'àrea de la regió del semiplà $x \ge 0$ compresa entre les gràfiques de $f(x)$ i $g(x)$. [1,25 punts]

$x_1 =$

i $x_2 =$

$A =$

$\text{u}^2$

3. Considereu els punts de l'espai tridimensional $A = (1, a, 1)$, $B = (a, 1, 2)$, $C = (1, 1, 1)$ i $D = (0, 0, 0)$, en què $a$ és un paràmetre real.

a)

Determineu el valor del paràmetre $a$ per al qual els punts són diferents i coplanaris (és a dir, que hi ha un pla que els conté).

[1,25 punts]

b)

Per al valor $a = 2$, calculeu l'àrea del triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$.

[1,25 punts]

Nota: Per a calcular l'àrea del triangle definit pels vectors $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$, podeu fer servir l'expressió $S = \frac{1}{2}\|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\|$, en què $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$ és el producte vectorial dels vectors $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$.

4. La resistència al trencament $R$ d'una biga de secció rectangular de base $x$ i altura $y$ és directament proporcional al producte $xy^2$; per tant, $R = kxy^2$, en què $k$ és una constant positiva. Disposem d'un tronc de fusta en forma de cilindre de diàmetre $d$ com el de la figura.

a)

Comproveu que la resistència $R$ de la biga rectangular de base $x$ que podem construir amb aquest tronc ve donada per l'expressió $R = kx(d^2 - x^2)$. [1,25 punts]

b)

Calculeu les dimensions de la biga rectangular de resistència màxima que podem construir a partir d'aquest tronc i calculeu aquesta resistència màxima. [1,25 punts]

5. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} x + 2y + az = 8 \\ 2x + y - az = 1 \\ 3x - 3az = 1 \end{cases}$$

a)

Comproveu que, per a qualsevol valor del paràmetre $a$, el sistema d'equacions lineals no té solució.

[1,25 punts]

b)

Interpreteu geomètricament el sistema d'equacions lineals. Feu un dibuix esquemàtic que representi la posició relativa dels tres plans.

[1,25 punts]

6. Resoleu les dues qüestions següents:

a)

Sigui $f(x) = 2x^3 + mx^2 + nx + p$ una funció que té dos extrems relatius en $x = -3$ i en $x = 1$ i que passa pel punt $(3, 4)$. Calculeu els valors de $m$, $n$ i $p$. [1,25 punts]

b)

Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció $f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}$ en $x=-3$.

[1,25 punts]