Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2022 · Juny Serie 5

Siguin les matrius $C = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ i $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$.

a)

Comproveu que $C^3 = I_2$, en què $I_2$ és la matriu identitat d'ordre 2, i deduïu que la matriu $C$ és invertible i que $C^{-1} = C^2$. Calculeu $C^{2022}$. [1,5 punts]

b)

Resoleu l'equació matricial $C \cdot X = A - 2I_2$. [1 punt]

Considereu la funció $f(x) = x^3$ i sigui $a$ un nombre real estrictament positiu.

a)

Calculeu l'equació de la recta $t$ tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d'abscissa $x = a$. Trobeu el punt de tall de la recta $t$ amb l'eix de les abscisses (en funció de $a$). [1,25 punts]

b)

Feu un esbós de la gràfica de la funció $f$ i la recta $t$. Calculeu el valor de $a$ perquè l'àrea en el primer quadrant limitada per la funció $f$, la recta $t$ i l'eix de les abscisses sigui $108\text{ u}^2$. [1,25 punts]

3. Considereu el sistema d'equacions lineals$$\left.\begin{alignedat}{4}2x &-& y &+& 3z &=& 0 \\&& my &+& (3-m)z &=& -6 \\2x &-& y &+& mz &=& 6\end{alignedat}\right\}$$en què $m$ és un paràmetre real.

a)

Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $m$. [1,25 punts]

b)

Resoleu el sistema, si és possible, quan $m = 0$ i quan $m = 3$. En cada cas, doneu la posició relativa dels tres plans a $\mathbb{R}^3$. [1,25 punts]

4. A $\mathbb{R}^2$, considereu els triangles rectangles que tenen els vèrtexs en els punts $O=(0,0)$, $A=(x,0)$ i $B=(0,y)$, amb $x > 0$ i $y > 0$, i en què la suma dels catets és $10$.

a)

Expresseu l'àrea del triangle $AOB$ en funció de $x$. Per a quin valor de $x$ l'àrea del triangle $AOB$ és la més gran possible? Quin valor té aquesta àrea màxima? [1,25 punts]

b)

Expresseu la hipotenusa del triangle $AOB$ en funció de $x$. Per a quin valor de $x$ la hipotenusa del triangle $AOB$ és la més petita possible? Quin és aquest valor mínim? [1,25 punts]

Siguin els punts $A = (0, 0, 1)$, $B = (1, 1, 1)$, $C = (-1, -1, 1)$ i $D = (1, 0, 1)$.

a)

Comproveu que tres d'aquests punts estan alineats. Determineu quins són els tres punts i calculeu l'equació contínua i l'equació paramètrica de la recta que defineixen.

[1,25 punts]

b)

Calculeu l'equació general o cartesiana del pla que determinen els quatre punts.

[1,25 punts]

6. La columna de l'esquerra de la taula següent mostra l'esquema d'un programa informàtic que s'ha elaborat per trobar solucions aproximades d'una equació $f(x) = 0$ en un interval $(a, b)$, sabent que $f(a) · f(b) < 0$. La columna de dreta recull un exemple de funcionament del programa en què es pot veure com actuaria per trobar una solució de l'equació $x + \ln(x) = 0$ entre els valors $a = 0,5$ i $b = 2$.

a)

Expliqueu per què aquest programa és capaç de trobar una solució aproximada de l'equació $x + \ln(x) = 0$ entre els valors $a = 0,5$ i $b = 2$.

[1,25 punts]

b)

Volem aplicar aquest programa per a trobar les tres arrels de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ amb valors de $a$ i $b$ diferents. Trobeu justificadament entre quins valors $a$ i $b$, per a cada arrel, hem d'aplicar el programa per a trobar aproximacions de cadascuna de les tres arrels de la funció.

[1,25 punts]