Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2026 · Juny Serie 5

Exercici 1

Considereu la paràbola $y = f(x)$, amb $f(x) = -x^2 + 5x$, i la hipèrbola $y = g(x)$, amb $g(x) = 8 - \frac{8}{x + 1}$.

1.1.

En quants punts es tallen les gràfiques d'aquestes dues funcions? Calculeu-los tots. [0,75 punts]

1.2.

Calculeu l'àrea de la regió situada entre les dues corbes des de $x = 1$ fins a $x = 3$. [1 punt]

1.3.

Comproveu que $f(x)$ té les arrels als punts d'abscissa $x = 0$ i $x = 5$, i que l'ordenada del vèrtex de la paràbola $y = f(x)$ és $y = 6,25$. Justifiqueu que $y = f(x)$ és l'única paràbola que existeix amb aquestes dues propietats. [0,75 punts]

Exercici 2

[2,5 punts en total]

Considereu les matrius

$$M = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ k-1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad N = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ k-1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},$$

on $k$ és un nombre real qualsevol.

2.1.

Calculeu els valors de $k$ per als quals $MN$ és invertible.

[0,75 punts]

2.2.

Calculeu els valors de $k$ per als quals $NM$ és invertible.

[0,75 punts]

2.3.

Estudieu per a quins valors reals de $m$, $n$ i $k$ el sistema

$$M \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}$$

és compatible indeterminat.

[1 punt]

Exercici 3

En una ciutat s'ha estudiat la relació entre els hàbits de lectura i la pràctica d'esport en l'alumnat de batxillerat. Per a fer-ho, s'han formulat les dues preguntes següents a l'alumnat d'aquesta etapa educativa: «Llegeixes com a mínim dos llibres al mes?» i «Practiques algun esport almenys quatre hores a la setmana?»

Dels resultats de l'enquesta, es desprèn que el $60\ \%$ llegeixen com a mínim dos llibres al mes, dels quals el $70\ \%$ practiquen algun esport un mínim de quatre hores a la setmana. També s'observa que, d'entre els que no llegeixen un mínim de dos llibres al mes, el $50\ \%$ fan menys de quatre hores setmanals d'esport.

Si escollim a l'atzar un alumne/a de batxillerat d'aquesta ciutat:

3.1.

Quina és la probabilitat que faci esport almenys quatre hores setmanals? [0,75 punts]

3.2.

Si sabem que aquest alumne/a fa esport menys de quatre hores setmanals, quina probabilitat hi ha que llegeixi almenys dos llibres al mes? [0,75 punts]

L'Alba és una estudiant de batxillerat que ha anat anotant durant tot el curs quantes hores dedicava a la setmana a llegir i quantes a fer esport. Per a cada setmana té apuntat un nombre real $x$ que correspon a la quantitat d'hores de lectura i que oscil·la entre $1$ i $6$, i un nombre real $y$ que correspon a la quantitat d'hores de pràctica esportiva. Ha observat que la relació $y = 7 - x + \ln(2x - 1)$ s'ajusta força bé a les dades que ha anotat.

3.3.

Calculeu, segons aquest model, quin és el màxim i el mínim d'hores per setmana que l'Alba ha dedicat a practicar esport. [1 punt]

Exercici 4 - OPCIÓ A

D'una funció $f(x)$, sabem que passa pel punt $(-1, -1)$ i que la gràfica de la seva funció derivada és la següent:

4.1.

Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x)$ en el punt $(-1, -1)$. [1 punt]

4.2.

Estudieu si $f(x)$ té punts crítics (punts on $f'(x) = 0$) i, en cas que en tingui, determineu-ne les abscisses i classifiqueu-los segons si són màxims, mínims o punts d'inflexió de $f(x)$. [1 punt]

4.3.

Sabent, a més, que $f(0) = -0,2$, calculeu l'àrea entre la gràfica de $f'(x)$ i l'eix de les abscisses, des de $x = -1$ fins a $x = 0$. [0,5 punts]

Exercici 4 - OPCIÓ B

En una indústria es fan servir braços robòtics amb sensors per a mesurar amb precisió determinades peces metàl·liques i comprovar si tenen irregularitats. Les peces es col·loquen sobre la superfície determinada pel pla $\pi$: $(x, y, z) = (6, 1, 1) + \lambda(1, 1, 0) + \mu(0, 0, 1)$ i, per damunt seu, un braç robòtic desplaça un sensor des del punt $A = (1, 2, 3)$ fins al punt $B = (5, 3, 7)$ en línia recta (les unitats dels tres eixos de coordenades estan expressades en centímetres).

4.1.

Quina distància ha recorregut el sensor? [0,5 punts]

4.2.

En acabar el moviment, a quina distància de la superfície es troba el sensor? [1 punt]

4.3.

Si el sensor seguís movent-se en la mateixa línia recta i en el mateix sentit, en quin punt xocaria amb la superfície? [1 punt]