Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2024 · Juny Serie 5

Considereu la funció $f(x) = -2 + 10(x - 1) \ln x$, definida per a $x > 0$.

a)

Comproveu que $f(x)$ té una arrel a l'interval $[1, 1{,}5]$ i busqueu un interval d'una dècima de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel.

[0,75 punts]

[

,

]

Considereu la funció $f(x) = -2 + 10(x - 1) \ln x$, definida per a $x > 0$.

b)

Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que $f(x)$ és decreixent a l'interval $(0, 1)$ i creixent a $(1, +\infty)$. Quins màxims i mínims té aquesta funció?

[1 punt]

c)

Calculeu $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$ i $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$, i feu un esbós de la gràfica d'aquesta funció.

[0,75 punts]

Considereu les matrius

$$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

a)

Decidiu si la matriu $P$ és invertible i, en cas de ser-ho, calculeu la seva inversa. Expliqueu detalladament el procediment seguit. [1,25 punts]

Sí

No

b)

Calculeu una matriu $X$ de $3$ files i $3$ columnes que compleixi $PX + Q = 2R$. [1,25 punts]

Considereu les paràboles $y = f_a(x)$, amb $f_a(x) = ax^2 + 2x + 5 - a$, on $a$ és un paràmetre real.

a)

Determineu el valor del paràmetre $a$ per al qual la recta tangent a $y = f_a(x)$ en el punt d'abscissa $x = 1$ passa pel punt $(2, 13)$. [1 punt]

$a =$

Considereu les paràboles $y = f_a(x)$, amb $f_a(x) = ax^2 + 2x + 5 - a$, on $a$ és un paràmetre real.

b)

Calculeu els punts de tall de les paràboles $y = f_1(x)$ i $y = f_3(x)$. [0,5 punts]

(

,

)

(

,

)

c)

Calculeu l'àrea de la regió situada entre les dues paràboles $y = f_1(x)$ i $y = f_3(x)$. [1 punt]

4. La Rut fa servir el mètode següent per a fer els problemes de matemàtiques: tira un dau equilibrat i, si el resultat és com a màxim 4, pensa i resol el problema ella mateixa; si el resultat és 5 o 6, busca la solució del problema per Internet i la copia. Quan és ella qui ha pensat la solució, la resposta és correcta en el 75 % dels casos; quan copia la solució d'Internet, la resposta és correcta només en el 40 % dels casos.

a)

Quina és la probabilitat que la solució d'un problema respost seguint aquest mètode sigui correcta? [0,75 punts]

b)

Quina és la probabilitat que un problema l'hagi resolt la Rut si sabem que la solució és correcta? [0,75 punts]

c)

Demà la Rut ha d'entregar 5 problemes de matemàtiques. Quina és la probabilitat que n'hi hagi almenys 4 de correctes? [1 punt]

5. En Carles vol construir un decorat per a l'obra de teatre de final de curs en forma d'un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent:

a)

Determineu el perímetre i l'àrea del decorat que s'ha de construir en funció de $x$ i de $y$.

[1 punt]

b)

Per a revestir el perímetre del decorat, en Carles té material per a cobrir fins a $10\text{ m}$. Si el vol gastar tot, quines seran les mides del decorat d'àrea màxima que podrà construir? Quin és el valor d'aquesta àrea?

[1,5 punts]

6. Considereu les rectes $r: \dfrac{x-5}{4} = \dfrac{y-4}{3} = \dfrac{z-3}{-1}$ i $s: \begin{cases} x = 4 + 2k \\ y = 3 + k \\ z = -1 \end{cases}$.

a)

Quina és la seva posició relativa? Calculeu l'equació implícita d'un pla $\pi$ que sigui paral·lel a les dues rectes i que passi per l'origen de coordenades. [1,25 punts]

b)

Calculeu l'equació de la recta $t$ que talla les dues rectes $r$ i $s$ perpendicularment. [1,25 punts]