Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2023 · Juny Serie 5

Considereu les funcions $f(x) = -x^2 + x + 6$ i $g(x) = -9x + 3x^2$.

a)

Calculeu l'àrea de la regió delimitada per les dues funcions.

[1,25 punts]

$\\text{u}^2$

Considereu les funcions $f(x) = -x^2 + x + 6$ i $g(x) = -9x + 3x^2$.

b)

Trobeu l'equació de la recta tangent a la funció $f(x)$ en el punt $(-2, 0)$. Representeu aquesta recta tangent i les funcions $f(x)$ i $g(x)$ en uns mateixos eixos de coordenades.

[1,25 punts]

2. Considereu el sistema d'equacions lineals$$\left.\begin{aligned}x - y + kz &= -1 \\ x + ky + z &= 3 \\ 2x + (k-1)y + 2z &= 2\end{aligned}\right\}$$en què $k$ és un paràmetre real.

a)

Discutiu el sistema en funció del valor de $k$. [1,5 punts]

Valor de $k$ · Tipus de sistema

$k \neq 1$ i $k \neq -1$

$k = 1$

$k = -1$

b)

Resoleu el sistema per a $k = 0$ i per a $k = 1$. [1 punt]

Per a $k = 0$:

Per a $k = 1$:

Considereu les rectes a l'espai $r: x = -y = z + m$ i $s: \begin{cases} x + y = 1 \\ x - z = 0 \end{cases}$, en què $m$ és un paràmetre real.

a)

Estudieu la posició relativa per als diferents valors del paràmetre $m$. [1,25 punts]

b)

Calculeu $m$ perquè la distància entre les rectes $r$ i $s$ sigui de $\sqrt{2}$ unitats. [1,25 punts]

$m_1$ =

$m_2$ =

4. En una carretera principal hi trobem el poble $A$. A $12\text{ km}$ del poble $A$, hi ha un encreuament $O$ amb una carretera secundària que talla perpendicularment la carretera principal. A $9\text{ km}$ de l'encreuament, a la carretera secundària, hi trobem el poble $B$. Es vol construir una torre de comunicacions $T$ en un punt de la carretera principal situat entre el poble $A$ i l'encreuament $O$. Aquesta torre ha d'estar connectada amb cadascun dels dos pobles en línia recta per cable. Sabem que instal·lar el cable entre la torre $T$ i el poble $B$ té un preu de $250\text{ €/km}$ i, en canvi, instal·lar el cable entre la torre $T$ i el poble $A$ té un preu de $125\text{ €/km}$. Determineu a quina distància de l'encreuament $O$ a la carretera principal cal situar la torre $T$ perquè el preu del cablejat sigui mínim i quin serà el valor d'aquest preu mínim. [2,5 punts]

Considereu la família $\mathcal{S}$ de matrius de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$, en què $a, b \in \mathbb{R}$.

a)

Calculeu $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$.

[1,25 punts]

(

)

b)

Trobeu totes les matrius de la família $\mathcal{S}$, és a dir, de la forma $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$, que verifiquin la igualtat $A^2 = I$, en què $I$ és la matriu identitat d'ordre 2.

[1,25 punts]

Solució 1:

$a =$

$b =$

Solució 2:

$a =$

$b =$

Solució 3:

$a =$

$b =$

Solució 4:

$a =$

$b =$

Sigui la funció $f(x)=\dfrac{ax^2+x+b}{x^2+1}$.

a)

Calculeu els valors dels paràmetres $a$ i $b$ si sabem que la gràfica de la funció $f$ té un extrem relatiu en $x = -1$ i passa pel punt $P=\left(-2, \dfrac{13}{5}\right)$. [1,25 punts]

b)

Per al cas $a = b$, calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció. [1,25 punts]