Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2022 · Juny Serie 2

Sigui $f'(x) = 3x^2 - 12x$ la derivada d'una funció $f(x)$.

a)

Si sabem que $f(x)$ talla l'eix de les abscisses en $x = 1$, calculeu l'expressió de la funció $f(x)$. [0,75 punts]

c)

Sabem que l'àrea del recinte limitat per la corba $y = f''(x)$, l'eix de les abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = a$, amb $a > 2$, és $15\,\text{u}^2$. Calculeu el valor de $a$. [1 punt]

Sigui $f'(x) = 3x^2 - 12x$ la derivada d'una funció $f(x)$.

b)

Calculeu l'abscissa del punt d'inflexió de $f(x)$ i estudieu la concavitat de la funció.

[0,75 punts]

2. Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} ax + 2y + 3z = 2 \\ 2x + ay + z = a \\ x + y + 4z = 1 \end{cases}$$

a)

Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $a$.

[1,5 punts]

b)

Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $a = 2$.

[1 punt]

3. Sigui la recta $r$ definida per l'expressió següent:

$

r: \left\{\begin{array}{l}

x = 2 + \lambda \\

y = -1 + 3\lambda \\

z = 3 + \lambda

\end{array}\right.

$

a)

Determineu la posició relativa de la recta $r$ respecte al pla $\pi: x - 2y + 4z - 4 = 0$. Si és paral·lela, calculeu la distància de $r$ a $\pi$, i si és secant, calculeu el punt de tall.

[1,25 punts]

Punt de tall $(x, y, z) = ($

,

,

$)$

b)

Calculeu l'equació de la recta $s$ perpendicular al pla $\pi$ i que talla la recta $r$ en un punt $P$, la primera coordenada del qual és 5 vegades més gran que la segona.

[1,25 punts]

$P = ($

,

,

$)$

Exercici 4

a)

Trobeu una funció polinòmica $y = g(x)$ de grau 3 tal que talli l'eix de les ordenades en el punt $(0, 5)$, que la recta tangent a $y = g(x)$ en el punt d'abscissa $x = 1$ sigui horitzontal i que $g''(x) = 2x + 1$.

[1 punt]

$g(x) =$

Exercici 4

b)

Comproveu que la funció $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 16$ té una arrel a $x = 2$ i que és estrictament creixent a l'interval $(0, 4)$. Utilitzeu aquesta informació per a calcular l'àrea determinada per la funció $f(x)$, l'eix de les abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = 4$.

[1,5 punts]

5. Sigui la matriu $X = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$, que depèn dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

a)

Calculeu les matrius $X$ tals que $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. [1,5 punts]

Hi ha dues solucions possibles per als paràmetres $(a, b, c)$. Indiqueu cadascuna d'elles:

Primer conjunt de valors:

$a_1 =$

$b_1 =$

$c_1 =$

Segon conjunt de valors:

$a_2 =$

$b_2 =$

$c_2 =$

b)

Determineu els valors de $a$, $b$ i $c$ perquè la matriu inversa de $X$ sigui $X^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. [1 punt]

$a =$

$b =$

$c =$

6. Al pati d'una escola es vol crear una àrea de joc de $30\text{ m}^2$ per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases ($D$) sigui tan curt com sigui possible.

a)

Justifiqueu que se satisfan les relacions següents: $h = \dfrac{20}{x}$ i $D(x) = \sqrt{\dfrac{400}{x^2} + x^2}$.

[1 punt]

b)

Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat $D$ és mínima.

[1,5 punts]