Examen de Matemáticas II PAU Valencia 2026 · Extraordinaria solapamiento

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

El 44% de los estudiantes de una universidad son hombres y el 56% mujeres. Un 20% de los hombres abandonan los estudios antes de acabar y un 15% en el caso de las mujeres.

1.1

(0.75 puntos) Calcular el porcentaje de estudiantes que finaliza sus estudios.

%

1.2

(0.75 puntos) Si se elige un estudiante que ha abandonado los estudios, calcular la probabilidad de que sea mujer.

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

El 44% de los estudiantes de una universidad son hombres y el 56% mujeres. Un 20% de los hombres abandonan los estudios antes de acabar y un 15% en el caso de las mujeres.

1.3

(1 punto) Si se eligen a 7 alumnos masculinos, calcular la probabilidad de que al menos 3 de ellos finalicen sus estudios.

Tabla de la distribución binomial (Bin(n,p)): $F(x) = P(X \le x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$

2.1 Se consideran la matriz $A$, dependiente del parámetro real $a$, y el vector $w$, siguientes:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \\ a & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad w = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}^T,$$

donde $T$ indica transpuesta. Se pide:

2.1.1

(1 punto) Calcular el rango de $A$ en función del parámetro $a$.

2.1.2

(0.75 puntos) Discutir el sistema $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = w$.

2.1.3

(0.75 puntos) Calcular el valor de $z$ en función de $a$ cuando el sistema es compatible determinado.

2.2 Las matrices cuadradas que verifican que su inversa es igual a su traspuesta se llaman matrices ortogonales. Se pide:

Escribe las matrices por filas: elementos separados por comas y filas separadas por punto y coma, por ejemplo $(a, b; c, d)$.

2.2.1

(0.75 puntos) Comprobar que la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ es una matriz ortogonal y calcular $A^{38}$ y $(AA^T)^{39}$, donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.

2.2.2

(0.5 puntos) ¿Puede ser el determinante de una matriz ortogonal igual a cero? Justificar la respuesta.

2.2.3

(0.5 puntos) Si $A$ y $B$ son dos matrices ortogonales de igual dimensión, analizar si $A \cdot B$ es también una matriz ortogonal.

2.2.4

(0.75 puntos) Encontrar la matriz $X$ que verifique $A^2X - 2B = 0$, siendo

$$B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$$

3.1 Dados los puntos $A(1,-2,1)$ y $B(3,4,3)$, y la recta $r \equiv \frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=z-1$, se pide:

3.1.1

(1 punto) La ecuación del plano $\pi_1$ respecto al cual $A$ y $B$ son puntos simétricos.

3.1.2

(0.5 puntos) Comprobar que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi_1$.

3.1.3

(1 punto) La ecuación del plano $\pi_2$ que contiene al punto $A$ y tal que su intersección con $\pi_1$ es la recta $r$.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA - Apartado 3.2

3.2 Dados el plano $\pi: -2x + y + 2z + 1 = 0$ y el punto $P(1,-2,0)$, se pide:

3.2.1

(0.5 puntos) Calcular la distancia del punto $P$ al plano $\pi$.

3.2.3

(1 punto) Determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano $\pi$ con los tres ejes coordenados.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA - Apartado 3.2

3.2 Dados el plano $\pi: -2x + y + 2z + 1 = 0$ y el punto $P(1,-2,0)$, se pide:

3.2.2

(1 punto) Escribir una ecuación de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el punto $P$.

4.1 Sea la función real de variable real $f(x)=x^3-3x^2+2x$. Se pide:

4.1.1

(1.25 puntos) Representar gráficamente la función $f(x)$.

4.1.2

(1.25 puntos) Calcular el área de la región delimitada por la curva $y=f(x)$, el eje $x$ y las rectas verticales que pasan por los puntos mínimo y máximo de la función.

4.2 Se considera un triángulo rectángulo $T$ cuyos catetos se cortan en el origen de coordenadas del plano; el cateto horizontal mide 4 unidades y el vertical 3. Consideramos un rectángulo $R$ inscrito en el triangulo $T$ de modo que dos lados del rectángulo $R$ están situados sobre los catetos de $T$ y uno de sus vértices está en la hipotenusa de $T$. Denotamos por $x$ la longitud del lado de $R$ que está sobre el cateto mayor y por $y$ la longitud del lado de $R$ que está sobre el cateto menor. Se pide:

4.2.1

(1 punto) Calcular la ecuación de la recta que contiene a la hipotenusa del triángulo $T$.

4.2.2

(1.5 puntos) Calcular los valores de $x$ e $y$ que hacen que el área de $R$ sea máxima y calcular dicha área.