Examen de Matemáticas II PAU Valencia 2025 · Extraordinaria solapamiento

Se ha realizado una encuesta a 120 miembros de un club de lectura sobre sus preferencias literarias. La siguiente tabla muestra los resultados clasificados por edad y tipo de obra preferido:

Edad/Tipo de obra · Novela · Poesía · Obras de teatro · Ensayos

< 25 años · 17 · 6 · 7 · 1

25 – 60 años · 22 · 17 · 10 · 3

> 60 años · 8 · 12 · 11 · 6

1.1

[0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tipo de obra preferido de una persona seleccionada al azar no sea el ensayo?

1.2

[0,75 puntos] Si se sabe que un miembro del club NO tiene como tipo de obra preferido la poesía, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 25 años o más?

Se ha realizado una encuesta a 120 miembros de un club de lectura sobre sus preferencias literarias. La siguiente tabla muestra los resultados clasificados por edad y tipo de obra preferido:

Edad/Tipo de obra · Novela · Poesía · Obras de teatro · Ensayos

< 25 años · 17 · 6 · 7 · 1

25 – 60 años · 22 · 17 · 10 · 3

> 60 años · 8 · 12 · 11 · 6

1.3

(1 punto) Dados 10 miembros del club que tienen entre 25 y 60 años, ambos incluidos. ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 3 de ellos tengan como tipo de obra preferido o bien las obras de teatro o bien los ensayos?

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, calcular:

2.1.1

[0,75 puntos] La matriz $X$, si existe, tal que $2AX = BX + I$, siendo $I$ la matriz identidad $2 \times 2$.

2.1.2

[0,75 puntos] Si existen, los valores del parámetro real $\alpha$ tales que $4A^2 + \alpha A - I = 0$, siendo $0$ la matriz nula $2 \times 2$.

2.1.3

[1 punto] $A^{12}$.

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 3x + y + 2z = 1 - a \\ (1 + a)x + 2y + z = a \\ ax - y + z = 1 - a \end{cases}$$

donde $a$ es un parámetro real. Se pide:

2.2.1

[1,25 puntos] Discutir el sistema en función del parámetro $a$.

2.2.2

[1,25 puntos] Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

Dado el plano $\pi: 2x - z = 1$, calcular:

3.1.1

[1,25 puntos] Si existe, el plano perpendicular a $\pi$ que contiene a la recta $r: \begin{cases} 2x - y = 0 \\ z = y \end{cases}$

3.1.2

[1,25 puntos] Los planos paralelos a $\pi$ cuya distancia al punto $P = (0,1,2)$ es $2$.

Se considera el plano $\pi$ con ecuación $2x + 3y - z = 0$ y los cuatro puntos $A = (0,0,0)$, $B = (10,0,-20)$, $C = (0,15,-30)$ y $D = (1,2,-1)$.

3.2.1

Comprobar si el triángulo $ABC$ pertenece al plano $\pi$.

[0,5 puntos]

3.2.2

Calcular la distancia del punto $D$ al plano $\pi$.

[0,5 puntos]

3.2.3

Calcular las coordenadas de la proyección del punto $D$ sobre el plano formado por los puntos $A, B$ y $C$.

[1,5 puntos]

Sea la función real de variable real $f(x) = \frac{x}{9-x^2}$.

4.1.1

[0,75 puntos] Calcular el dominio de definición, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.

4.1.2

[0,25 puntos] Dibujar la curva $y = f(x)$.

Sea la función real de variable real $f(x) = \frac{x}{9-x^2}$.

4.1.3

[0,75 puntos] Hallar todas las primitivas de $f$.

4.1.4

[0,75 puntos] Calcular el área comprendida entre las curvas $y = f(x)$, $x = -1$, $x = 1$ y el eje de abscisas.

Sea la función real de variable real $f(x) = \frac{x}{9-x^2}$.

4.2 Se quiere construir un bote de refresco cilíndrico de volumen $33\text{ cm}^3$ que tenga área total (incluyendo las tapas) mínima. Se pide:

4.2.1

Expresar el área total del bote en función del radio de su base y de su altura. [0,5 puntos]

4.2.2

Obtener las dimensiones que minimizan el área total del bote. [1,5 puntos]

4.2.3

Hallar dicha área. [0,5 puntos]