Examen de Matemáticas II PAU Valencia 2025 · Extraordinaria DANA

Los vuelos que llegan a un aeropuerto se clasifican en tres grupos: vuelos puntuales, vuelos con retrasos de hasta tres horas y vuelos con retrasos de más de tres horas. La puntualidad de los vuelos se ve afectada por las condiciones meteorológicas del momento. Si las condiciones meteorológicas son buenas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 70% mientras que el 10% llegan con más de tres horas de retraso. Si las condiciones meteorológicas son malas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 40% mientras que el 30% llegan con más de tres horas de retraso. Se calcula que el 90% de los días las condiciones meteorológicas son buenas.

1.1

(0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo llegue con más de 3 horas de retraso?

1.2

(1 punto) Sabiendo que un vuelo ha sido puntual, ¿cuál es la probabilidad de que las condiciones meteorológicas fueran malas?

Los vuelos que llegan a un aeropuerto se clasifican en tres grupos: vuelos puntuales, vuelos con retrasos de hasta tres horas y vuelos con retrasos de más de tres horas. La puntualidad de los vuelos se ve afectada por las condiciones meteorológicas del momento. Si las condiciones meteorológicas son buenas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 70% mientras que el 10% llegan con más de tres horas de retraso. Si las condiciones meteorológicas son malas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 40% mientras que el 30% llegan con más de tres horas de retraso. Se calcula que el 90% de los días las condiciones meteorológicas son buenas.

1.3

(1 punto) Un pasajero realiza un vuelo a dicho aeropuerto, desde donde debe tomar otro vuelo a su destino final. Este segundo vuelo enlaza si el primero llega con 3 horas o menos de retraso. Si realiza este viaje una vez al mes durante un año y viaja siempre en condiciones meteorológicas buenas ¿cuál es la probabilidad de que pueda enlazar con el vuelo a su destino final en todos sus viajes?

Se considera la matriz

$$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix},$$

que depende de un parámetro real $m$, y las matrices

$$E = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}.$$

Se pide:

2.1.1

(0.5 puntos) Indicar, si existen, los valores del parámetro $m$ para los que $D$ tiene inversa.

2.1.2

(1 punto) Calcular las matrices $EF$ y $(FE)^t$, si existen.

2.1.3

(1 punto) Resolver, para $m = 0$, la ecuación matricial con incógnita $X$:

$$\frac{1}{2}X + D = D^{-1}.$$

Pregunta 2 - Apartado 2.2

Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m+1 \\ 0 & 1 & m \\ m-1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

2.2.1

(1,25 puntos) Estudiar el rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$.

2.2.2

(1,25 puntos) Para $m = 0$, calcular la matriz inversa de $\frac{1}{6} A$, si existe.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dados los planos $\pi_1: 2x - a^2y - az = a - 1$ y $\pi_2: (a - 1)x - ay - z = a$, se pide:

3.1.1

(1.5 puntos) Estudiar en función de $a$ si los planos anteriores coinciden, son paralelos no coincidentes o se cortan.

No

Sí

3.1.2

(0.5 puntos) Calcular, para $a = 0$, el ángulo entre los planos $\pi_1$ y $\pi_2$.

3.1.3

(0.5 puntos) Calcular, para $a = 0$, la distancia entre el punto $P = (1, 0, -1)$ y el plano $\pi_1$.

3.2 Dado el plano $\pi: 2x + y - 3 = 0$ y la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \alpha \\ y = -1 - 2\alpha \\ z = 1 \end{cases}$, se pide:

3.2.1

(1.25 puntos) Obtener la ecuación del plano perpendicular a $\pi$ y que contiene a $r$.

3.2.2

(1.25 puntos) Calcular, si existe, un plano paralelo a $\pi$ y que contenga a $r$.

Dadas las funciones $f(x) = x^4 - 7x^2 + 16$ y $g(x) = x^2$:

4.1.1

(1.25 puntos) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de la función $y = f(x)$.

Dadas las funciones $f(x) = x^4 - 7x^2 + 16$ y $g(x) = x^2$:

4.1.2

(1.25 puntos) El área de la superficie finita encerrada entre las curvas dadas por $f(x)$ y $g(x)$.

Dadas las funciones $f(x) = x^4 - 7x^2 + 16$ y $g(x) = x^2$:

4.2 Una costa marítima se extiende en línea recta hacia la derecha desde un punto $P$ de la costa. A $8\text{ km}$ de $P$ hay una refinería situada en la costa. Además, hay una plataforma petrolífera en el mar que está situada a $6\text{ km}$ de distancia de $P$ en la recta perpendicular a la costa desde el punto $P$. Se construirá un oleoducto desde la plataforma hasta la refinería. El coste de construir el oleoducto bajo el agua es de $1$ millón de euros por kilómetro y el de construirlo sobre tierra, de $0,6$ millones de euros por kilómetro.

4.2.1

(0.5 puntos) Encontrar la función del coste de construcción del oleoducto dependiendo de la distancia, $x$, entre el primer punto donde el oleoducto toca la costa y la refinería.

$C(x) =$

4.2.2

(1.5 puntos) Encontrar el valor de $x$ para que el coste de construcción del oleoducto sea mínimo.

4.2.3

(0.5 puntos) Calcular dicho coste.