Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2024 · Extraordinaria

Se consideran las matrices $M$, $P$ y $N$ dadas por:$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 1 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

a)

Determine los valores de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ para los que se verifica:$$M \cdot N = 2N \quad \text{y} \quad (N^t \cdot M)^t + M \cdot P = N$$

b)

Para $a = 0$, $b = -1$ y $c = -2$, compruebe que $M^2 = M + 2I$, donde $I$ denota la matriz identidad de tamaño $2 \times 2$, y utilice dicha igualdad para calcular $M^{-1}$ y $M^3$.

a)

Encuentre el valor del parámetro real $a$ tal que $$\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-a)\,dx=\frac{2}{3}.$$

b)

Sea $$f(x)=\begin{cases}x^2-b & \text{si } x < 0 \\ 3x+2 & \text{si } x \ge 0\end{cases}$$ Determine para qué valores del parámetro $b \in \mathbb{R}$ se tiene que $f(x)$ es una función continua en su dominio. Estudie la derivabilidad de la función para esos valores del parámetro $b$.

$b =$

Sea $f(x)$ una función real de variable real cuya derivada viene dada por la siguiente expresión:

$$f'(x) = \frac{-1}{x^2} + a.$$

a)

Obtenga el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ pase por los puntos $(1, 3)$ y $(2, 7/2)$. Escriba la expresión de la función $f(x)$.

b)

Para $a = 1$, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, clasificando sus extremos relativos, si procede.

Se considera la siguiente función real de variable real:

$$f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$$

a)

Determine las asíntotas de esta función.

b)

Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 1$.

De entre todos los números reales no negativos y menores o iguales que 10 se buscan dos números tales que el doble del primero menos el segundo no pase de 10 y que el triple del primero más el doble del segundo sea al menos 12. Además, se desea que su suma sea lo menor posible.

Sea $x$ el primer número e $y$ el segundo número. Las restricciones del problema son:

$$2x - y \leq 10, \quad 3x + 2y \geq 12, \quad 0 \leq x \leq 10, \quad 0 \leq y \leq 10$$

Y la función a minimizar es $S(x,y) = x + y$.

a)

b)

En una tienda de música se tienen $70$ instrumentos distribuidos en tres tipos: guitarras, pianos y violines. Se sabe que la cantidad de pianos más la cantidad de violines es igual a la cantidad de guitarras. Si tuviéramos el mismo número de violines, pero el doble de pianos y cuatro veces el de guitarras, el total de instrumentos en la tienda sería de $180$. Plantee un sistema de ecuaciones y determine el número de instrumentos de cada tipo en la tienda.

7. (2 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$:$$\left\{\begin{array}{l} 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + y + z = 0 \\ 8x + ay + 5z = 2 \end{array}\right.$$

a)

Discuta el sistema para los diferentes valores de $a$.

b)

Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 3$.

Tomando $z = \lambda$ como parámetro libre:

La observación meteorológica para los días de otoño en Madrid establece que el día está nublado en un $50\%$ de las ocasiones y que la temperatura baja de los $10$ grados un $7\%$ de los días. Además, el $35\%$ de los días son nublados o la temperatura baja de los $10$ grados. Escogiendo un día de otoño al azar, calcule la probabilidad de que:

a)

Esté nublado y la temperatura baje de los $10$ grados.

b)

No esté nublado, sabiendo que la temperatura no baja de los $10$ grados.

9. (2 puntos) El porcentaje de aprobados en asignaturas de primer año en la universidad española se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 8$ puntos porcentuales.

a)

Se toma una muestra aleatoria simple de $20$ asignaturas de primer año y se obtiene que el porcentaje medio de aprobados en la muestra es de $65$ puntos porcentuales. Determine un intervalo de confianza al $99\,\%$ para $\mu$.

b)

Suponga que $\mu = 67$ puntos porcentuales. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de $10$ asignaturas la media muestral, $\bar{X}$, esté comprendida entre $65$ y $69$ puntos porcentuales.

Tabla de la distribución normal estándar

Según los datos del INE, el $45{,}68\%$ de las familias españolas tienen una renta mensual de 1500 a 3000 euros y el $23{,}98\%$ de las familias tienen una renta mensual superior a 3000 euros. Entre las familias con menos de 1500 euros mensuales solo el $10\%$ viaja por vacaciones, si el ingreso es de 1500 a 3000 euros mensuales viajan el $40\%$ y si el ingreso es mayor de 3000 euros mensuales viajan el $85\%$. Eligiendo al azar una familia española, calcule la probabilidad de que:

a)

Viaje por vacaciones.

b)

Sabiendo que viaja por vacaciones, su ingreso mensual sea mayor de 1500 euros.