Problema 9 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid Extraordinaria 2024

9. (2 puntos) El porcentaje de aprobados en asignaturas de primer año en la universidad española se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 8$ puntos porcentuales.

a)

Se toma una muestra aleatoria simple de $20$ asignaturas de primer año y se obtiene que el porcentaje medio de aprobados en la muestra es de $65$ puntos porcentuales. Determine un intervalo de confianza al $99\,\%$ para $\mu$.

b)

Suponga que $\mu = 67$ puntos porcentuales. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de $10$ asignaturas la media muestral, $\bar{X}$, esté comprendida entre $65$ y $69$ puntos porcentuales.

Tabla de la distribución normal estándar