Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2024 · Ordinaria

Se considera la matriz $A$ dada por:

$$A = \begin{pmatrix} 1-a & -2 & -1 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & -2 & a \end{pmatrix}$$

a)

Determine los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para los que exista la inversa de $A$.

La matriz tiene inversa si y solo si $a \neq a_1, a_2, a_3$. Introduce los 3 valores excluidos en orden creciente ($a_1 < a_2 < a_3$):

$a_1 =$

$a_2 =$

$a_3 =$

b)

Para $a = -2$, calcule $A^{-1}$.

Sea $f(x)$ una función real de variable real cuya derivada viene dada por la siguiente expresión:$$f'(x) = x^2 + x - 2$$

a)

Obtenga la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto $(0, 2)$.

b)

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, clasificando sus extremos relativos, si procede.

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:$$f(x) = \begin{cases} x^2 - x + e^2 & \text{si } x < 1 \\ a e^{2x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

a)

Halle el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio.

b)

Para $a = 1$, calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función anterior, el eje de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = 2$.

(2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real:

$$f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 9}$$

a)

Determine las asíntotas de esta función.

$x =$

$x =$

$y =$

b)

Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 0$.

5. (2 puntos) Se dispone de 60 gramos de ácido acetilsalicílico para elaborar tabletas en dos formatos, de 4 gramos y de 3 gramos respectivamente. Se necesitan al menos tres tabletas de 4 gramos, al menos ocho tabletas de 3 gramos y al menos el doble de tabletas de 3 gramos que de 4 gramos. Cada tableta de 4 gramos proporciona un beneficio de 1,5 euros y cada tableta de 3 gramos proporciona un beneficio de 1 euro. ¿Cuántas tabletas deberían fabricarse de cada tipo para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?

Un equipo de baloncesto regional ha vendido tres tipos de entradas para su último partido. Las entradas generales se han vendido a $10$ euros, las entradas para estudiantes a $8$ euros y las entradas infantiles a $5$ euros. El equipo ha conseguido vender $600$ entradas y ganar $4900$ euros. Además, se sabe que ha vendido el doble de entradas generales que de entradas infantiles. Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva para calcular el número de entradas vendidas de cada tipo.

7. (2 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$$\left.\begin{array}{rcl} 2x + y + z &=& a \\ x + ay + z &=& a + 1 \\ x + y + az &=& 2 \end{array}\right\}$$

a)

Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.

b)

Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 1$.

[2 puntos] En un festival de música con 200 asistentes se observa que a 90 personas les gusta el pop, a 70 el techno y a 30 les gustan ambos géneros. Eligiendo al azar a un asistente del festival, calcule la probabilidad de que:

a)

Le guste al menos uno de los dos géneros musicales.

b)

Le guste el techno pero no el pop.

9. (2 puntos) La cantidad de agua absorbida por un tipo particular de planta acuática se puede modelar con una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 8\text{ ml}$.

a)

Se selecciona aleatoriamente una muestra de 25 plantas acuáticas y se determina que la cantidad media de agua absorbida es de $120\text{ ml}$. Calcule un intervalo de confianza del $95\,\%$ para la media de la cantidad de agua absorbida por este tipo de planta acuática.

$($ $;$ $)$

b)

Determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que el error máximo, en la estimación de la media de la cantidad de agua absorbida, sea menor que $1\text{ ml}$, con un nivel de confianza del $90\,\%$.

plantas acuáticas

10. (2 puntos) En tres tanques, A, B y C, de una piscifactoría se crían, respectivamente, el $35\,\%$, el $20\,\%$ y el $45\,\%$ de los alevines de salmón noruego. Se sabe que el $15\,\%$ de los alevines criados en el tanque A, el $30\,\%$ de los alevines criados en el tanque B y el $25\,\%$ de los alevines criados en el tanque C miden más de $35\text{ mm}$. Eligiendo al azar un alevín de salmón noruego, calcule la probabilidad de que:

a)

Mida más de $35\text{ mm}$.

b)

Sabiendo que no mide más de $35\text{ mm}$, proceda del tanque C.