Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2024 · Ordinaria Coincidencias

1. (2 puntos) Se consideran las matrices $A$ y $B$ dadas por:$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.$$

a)

Calcule $A \cdot B$ y $A^3 \cdot B$.

$A \cdot B = ($,, $)^t$

$A^3 \cdot B = ($,, $)^t$

b)

Determine el valor del determinante de la matriz $A - 2I$, donde $I$ denota la matriz identidad de tamaño $3 \times 3$.

2. (2 puntos) La siguiente derivada de una función real de variable real representa la tasa de variación instantánea de una sustancia disuelta en agua:$$f'(t) = \frac{3}{2}\left(t - \frac{1}{2}t^2\right),$$siendo $t \ge 0$ el tiempo en horas desde que se prepara la disolución.

a)

Encuentre la función que proporciona la cantidad de sustancia disuelta en función del tiempo, sabiendo que en $t = 0$ la cantidad disuelta es nula.

b)

Determine el instante de tiempo en el que la sustancia disuelta es máxima.

horas

3. (2 puntos) Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

$$f(x) = \begin{cases} e^{x-1} & \text{si } x \le 1 \\[8pt] \dfrac{-x^2}{x-2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a)

Determine el dominio de $f(x)$ y estudie la continuidad en el punto $x = 1$.

b)

Analice los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

4. (2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real:$$f(x) = \frac{x^5 - 1}{x^4 - 16}.$$

a)

Determine las asíntotas de esta función.

b)

Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 0$.

Se desea vender limonada y naranjada caseras en una verbena popular. Además de agua, de la que disponemos sin limitaciones, cada litro de limonada necesita 4 limones y 80 gramos de azúcar. Cada litro de naranjada necesita 6 naranjas, 1 limón y 50 gramos de azúcar. Se dispone de 80 limones, 72 naranjas y 1720 gramos de azúcar para la elaboración. Cada litro de limonada se venderá a 2 euros y cada litro de naranjada a 2,5 euros. Determine los litros que se deben elaborar de cada una de las dos bebidas para maximizar los ingresos de la venta.

litros

litros

Alba, Benito y Charo son socios de una empresa de reformas. Por un trabajo realizado recibieron 6200 euros que se repartieron en función del tiempo dedicado. La cantidad percibida por Alba excede en 200 euros al total recibido conjuntamente por los otros dos socios. Por otra parte, se sabe que para que Alba y Benito percibieran lo mismo Alba debería entregar a Benito 600 euros. Plantee un sistema de ecuaciones y determine la cantidad percibida por cada socio.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$$\begin{cases} x + y + az = 2 \\ x + y + z = a \\ -2x + 2ay + 8z = -13 \end{cases}$$

a)

Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.

b)

Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 0$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A) = 0{,}7$ y $P(B) = 0{,}15$. Además, se sabe que $P(\bar{B} \mid A) = 0{,}8$ donde $\bar{B}$ es el suceso complementario de $B$. Calcule:

a)

b)

9. (2 puntos) El tiempo que las películas permanecen en cartelera se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 2$ semanas.

a)

Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple de películas para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de una semana con un nivel de confianza del $95\,\%$.

b)

Suponga que $\mu = 5$ semanas. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 16$ películas el tiempo medio que han permanecido en cartelera, $\bar{X}$, sea mayor de 6 semanas.

En la base de datos de Spotify el $80\,\%$ de las canciones incluidas son de artistas procedentes de EEUU. El $30\,\%$ de las canciones de artistas procedentes de EEUU incluidas pueden clasificarse como electrónica, el $20\,\%$ como música urbana y el $50\,\%$ restante como pertenecientes a otros estilos musicales. Si el artista no procede de EEUU esas probabilidades son de $10\,\%$, $50\,\%$ y $40\,\%$ respectivamente. Eligiendo al azar una canción de la base de Spotify, calcule la probabilidad de que:

a)

La canción pueda clasificarse como música urbana.

b)

Sabiendo que la canción puede clasificarse como música urbana, sea de un artista no procedente de EEUU.