Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2021 · Extraordinaria

Se consideran las matrices $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -a & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

a)

Calcule los valores del parámetro real $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa.

b)

Para $a = 2$ calcule, si existe, la matriz $X$ que satisface $AX = B$.

$x_1$ =

$x_2$ =

$x_3$ =

Una empresa tecnológica se plantea la producción y lanzamiento de dos nuevos cables de fibra óptica, el modelo A2020 y el modelo B2020. El coste de producir un metro del modelo A2020 es igual a 2 euros, mientras que el coste de producir un metro del modelo B2020 es igual a 0,5 euros. Para realizar el lanzamiento comercial se necesitan al menos 6000 metros de cable, aunque del modelo B2020 no podrán fabricarse más de 5000 metros y debido al coste de producción no es posible fabricar más de 8000 metros entre los dos modelos. Además se desea fabricar una cantidad de metros del modelo B2020 mayor o igual a la de metros del modelo A2020.

a)

Represente la región factible y calcule las coordenadas de sus vértices.

Vértice:

(

,

)

b)

Determine el número de metros que deben producirse de cada uno de los modelos para minimizar el coste.

metros

metros

Dada la función real de variable real definida por: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \le 3 \\ \dfrac{3a}{x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

a)

Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. ¿Para ese valor de $a$ es $f(x)$ derivable?

Sí

No

b)

Para $a = 1$, calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$.

A 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que $P(A) = 0{,}5$, $P(\overline{B}) = 0{,}8$ y $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}9$.

a)

Estudie si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

b)

Calcule $P(\overline{A}|\overline{B})$.

A 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El peso de los huevos producidos en una granja avícola se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma = 8$ gramos.

a)

Se toma una muestra aleatoria simple de 20 huevos, obteniéndose una media muestral de 60 gramos. Determine un intervalo de confianza al 95 % para $\mu$.

b)

Suponga que $\mu = 59$ gramos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 huevos, la media muestral, $\overline{X}$, esté comprendida entre 57 y 61 gramos.

B 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:

$\left\{\begin{array}{rcl}

x + 2ay + z & = & 0 \\

-x - ay & = & 1 \\

-y - z & = & -a

\end{array}\right.$

a)

Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real $a$.

b)

Resuelva el sistema para $a = 3$.

B 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real $f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2}{(x - 1)^2}$

a)

Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$.

b)

Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

B 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se sabe que la derivada de una función real $f(x)$ de variable real es:

$$f'(x) = 3x^2 + 8x$$

a)

Determine la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1) = 11$.

$f(x) =$

b)

Determine los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los hubiera.

$x =$

$x =$

Un colegio tiene alumnos matriculados que residen en dos municipios distintos, A y B, siendo el número de alumnos matriculados residentes en el municipio A el doble de los del municipio B. Se sabe que la probabilidad de fracaso escolar si se habita en el municipio A es de $0{,}02$, mientras que esa probabilidad si se habita en el municipio B es de $0{,}06$. Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho colegio elegido al azar:

a)

No sufra fracaso escolar.

b)

Sea del municipio A si se sabe que ha sufrido fracaso escolar.

B 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El tiempo necesario para cumplimentar un test psicotécnico se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ minutos y desviación típica $\sigma = 3$ minutos.

a)

Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de $1$ minuto con un nivel de confianza del $95\,\%$.

b)

Suponga que $\mu = 32$ minutos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 16$ pruebas, el tiempo medio empleado en su realización, $\overline{X}$, sea menor que $30{,}5$ minutos.