Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2024 · Extraordinaria Coincidencias

Se considera la matriz $A$ dada por:$$A = \begin{pmatrix} a & -1 \\ 4 & b \end{pmatrix}$$

a)

Determine todos los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para los que se verifica que $A^2 = O$, donde $O$ denota la matriz nula de tamaño $2 \times 2$.

b)

Sea $a = 2$ y $b = -2$. Sabiendo que $B = A + I$, donde $I$ denota la matriz identidad de tamaño $2 \times 2$, calcule $B^2$ y $B^{10}$.

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:$$f(x) = ax + \sqrt{x^2 + 2}$$

a)

Obtenga el valor del parámetro real $a$ para que la derivada de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$ tome el valor $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$.

b)

Para $a = 1$, calcule $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

3. (2 puntos) Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

$$f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x \le 0 \\ k & \text{si } 0 < x < 2 \\ -2x^2 + x + 6 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

a)

Determine, si es posible, el valor del parámetro real $k$ para que esta función sea continua en todo su dominio.

b)

Considerando $k = 1$, calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función anterior, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.

Se considera la siguiente función real de variable real:$$f(x) = \frac{2x^2 - 6}{x^2 + 3}$$

a)

Determine el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esta función.

b)

Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 1$.

Una fábrica de piensos produce 2 tipos de pienso para ganado, P1 y P2. Cada kg de P1 contiene 500 gramos de cereales, 300 de leguminosas y 200 de otros componentes adicionales. Cada kg de P2 contiene 600 gramos de cereales, 200 de leguminosas y 200 de otros componentes. Se dispone de 30 kg de cereales y 12 kg de leguminosas. Los componentes adicionales no están restringidos. Un kg de pienso P1 le da un beneficio de 1 euro y un kg de pienso P2 de 2 euros. ¿Cuántos kg de pienso de cada tipo debe fabricar para maximizar sus beneficios? ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

De cada 100 libros prestados en una biblioteca, 90 son novelas, biografías y libros de autoayuda. Además, se observa que los libros de autoayuda prestados son la mitad de las novelas y el número de las biografías es 5 unidades menor que el de las novelas. Plantee el sistema de ecuaciones y calcule el porcentaje de libros prestados de cada tipo.

a)

%

b)

%

c)

%

7. (2 puntos) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:$$\begin{cases}x - 2y + (a + 1)z &= 1 \\ 2x - az &= 2 \\ (a + 2)x - ay &= 4\end{cases}$$

a)

Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.

b)

Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = -1$.

El $80\,\%$ de las prendas producidas por una cadena de ropa se fabrican en Asia y, desafortunadamente, el $35\,\%$ de las prendas producidas por esa cadena se han fabricado usando mano de obra infantil. Además, el $70\,\%$ de las prendas analizadas se fabrican en Asia o se han fabricado usando mano de obra infantil. Eligiendo una prenda de esa cadena al azar, calcule la probabilidad de que:

a)

b)

Un supermercado ha determinado que el tiempo que pasa un cliente en su establecimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 3$ minutos.

a)

Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de 1 minuto con un nivel de confianza del $95\,\%$.

b)

Suponga que $\mu = 32$ minutos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 16$ clientes el tiempo medio que han pasado en su establecimiento, $\overline{X}$, sea menor de $30{,}5$ minutos.

En un estudio sobre desarrollo sostenible de la OCDE se ha observado que el $20\,\%$ de los países son desarrollados. Si el país es desarrollado tiene una probabilidad del $5\,\%$ de tener una esperanza de vida inferior a 70 años, del $50\,\%$ de tener una esperanza de vida de 70 a 75 años y un $45\,\%$ de que la esperanza de vida sea superior a los 75 años. Si el país no pertenece al grupo de los países desarrollados, esas probabilidades son $50\,\%$, $40\,\%$ y $10\,\%$, respectivamente. Eligiendo al azar un país, calcule la probabilidad de que:

a)

b)