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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2022 · Extraordinaria

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2022, Extraordinaria (julio): 5 problemas con solución.

Temas del examen: Álgebra · Programación Lineal · Análisis · Probabilidad · Inferencia Estadística

Ejercicio A.1 · Álgebra

Sea $a \in \mathbb{R}$ . Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} -a & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Determine los valores del parámetro real $a$ para que $A$ tenga inversa.

Calcule, para $a = 1$ , la solución del sistema $(A - B)X = Y$ .

Ejercicio A.2 · Programación Lineal

Sea $S$ la región del plano definida por $7y - 8x \le 3400, \quad 3x - 8y \le 2000, \quad 11x + 14y \ge 9500, \quad x \le 1200, \quad y \le 1000.$

Represente gráficamente la región $S$ y calcule las coordenadas de sus vértices.

Obtenga el valor mínimo de la función $f(x, y) = 2x + y$ en $S$ , indicando el punto de la región en el cual se alcanza.

Ejercicio A.3 · Análisis

Considere las funciones reales de variable real $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = -x^2 + ax + 3$ .

Se define $h(x)$ de la siguiente manera: $h(x) = \begin{cases} f(x), & \text{si } x \le 1 \\ g(x), & \text{si } x > 1 \end{cases}$ ¿Qué valor debe darle a la constante $a \in \mathbb{R}$ para que la función $h$ sea continua en $\mathbb{R}$ ?

Para $a = 2$ , halle el área de la región acotada del plano que está delimitada por las gráficas de $f$ y de $g$ .

Ejercicio A.4 · Probabilidad

Supongamos que el espacio muestral de cierto experimento aleatorio es la unión de los sucesos $A$ y $B$ . Esto es, $E = A \cup B$ . Además suponga que $P(A \cap B) = 0{,}2$ y $P(B) = 0{,}7$ .

Calcule $P(A^c)$ .

Calcule $P(A^c \cup B^c)$ .

Nota: $A^c$ y $B^c$ son, respectivamente, los sucesos complementarios de $A$ y $B$ .

Ejercicio A.5 · Inferencia Estadística

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de $z$ .

z ·,00 ·,01 ·,02 ·,03 ·,04 ·,05 ·,06 ·,07 ·,08 ·,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7703 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9954 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,9965 · 0,9966 · 0,9967 · 0,9968 · 0,9969 · 0,9970 · 0,9971 · 0,9972 · 0,9973 · 0,9974

2,8 · 0,9974 · 0,9975 · 0,9976 · 0,9977 · 0,9977 · 0,9978 · 0,9979 · 0,9979 · 0,9980 · 0,9981

2,9 · 0,9981 · 0,9982 · 0,9982 · 0,9983 · 0,9984 · 0,9984 · 0,9985 · 0,9985 · 0,9986 · 0,9986

3,0 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9988 · 0,9988 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9990 · 0,9990

Una muestra de tornillos, tomada de una compañía encargada de fabricarlos, ha permitido obtener un intervalo de confianza del $95\%$ para estimar la proporción de tornillos con defectos de fabricación, siendo $0{,}2$ y $0{,}3$ los extremos de dicho intervalo.

Estime la proporción de tornillos con defectos de fabricación a partir de esa muestra y dé una cota del error de estimación al nivel de confianza considerado.

Utilizando el mismo nivel de confianza, ¿cuál sería el error máximo de estimación si esa misma proporción se hubiera observado en una muestra de $700$ tornillos?

Ejercicio B.1 · Álgebra

Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{aligned}x + ay + z &= 2 \\ x - az &= 0 \\ x + y + z &= 2\end{aligned}\right.$

Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de $a$ .

Resuelva el sistema para $a = 0$ .

Ejercicio B.2 · Análisis

Determine los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = ax + \frac{b}{x}$ verifique que $f(2) = 4$ y $f'(2) = 0$ .

Encuentre todas las asíntotas de la función $g(x) = x + \frac{1}{x}$ .

Ejercicio B.3 · Análisis

Un investigador ha desarrollado un fertilizante para un determinado cultivo. Los estudios de mercado indican que los ingresos, $I(x)$ , en miles de euros, vienen expresados por la función $I(x) = x\,\frac{170 - 0{,}85x}{5},$ en la que $x$ representa la demanda del producto, expresada en miles de litros. Por otra parte, los costes de producción que asume la empresa, en miles de euros, se expresan en función de la demanda mediante la función $C(x) = 10 + 2x + x^2$ .

Proporcione una expresión para la función beneficio en términos de la demanda $x$ y encuentre la cantidad de producto que debería venderse para maximizarlo. Obtenga también el beneficio máximo.

miles de litros

miles de euros

Determine entre qué valores debería encontrarse la cantidad demandada de fertilizante para que el coste medio, $C(x)/x$ , no supere los diez mil euros.

La demanda $x$ debe encontrarse entre y miles de litros.

Ejercicio B.4 · Probabilidad

Tres amigas (Ana, Berta y Carla) elaboran una lista para hacer una fiesta sorpresa a una compañera de trabajo. Ana enviará el $30\,\%$ de las invitaciones, Berta el $40\,\%$ y Carla las restantes. El $2\,\%$ de los nombres de la lista de Ana son incorrectos y las invitaciones no llegarán a su destino. En las listas de Berta y Carla, los porcentajes de nombres incorrectos son $3\,\%$ y $1\,\%$ , respectivamente.

Nota: Exprese los resultados con 2 cifras decimales.

Calcule la probabilidad de que una invitación no llegue a su destino.

Si una invitación no llegó a su destino, ¿cuál es la probabilidad de que la haya enviado Ana?

Ejercicio B.5 · Inferencia Estadística