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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2018 · Extraordinaria

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2018, Extraordinaria (julio): 5 problemas con solución.

Temas del examen: Álgebra · Programación Lineal · Análisis · Probabilidad · Inferencia Estadística

Opción A - Ejercicio 1 · Álgebra

Considérense las matrices

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Calcúlese la matriz $[(A \cdot A^t)^2 - 2A \cdot A^t]^{11}$ .

Determínense el número de filas y columnas de la matriz $X$ que verifica que $X \cdot A^t = B^t$ . Justifíquese si $A^t$ es una matriz invertible y calcúlese la matriz $X$ .

filas ×

columnas

Opción A - Ejercicio 2 · Programación Lineal

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Considérese la región del plano $S$ definida por:

$S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x + 2y \ge 4;\quad x + 2y \le 12;\quad x \le 4;\quad -x + 2y \le 12\}$

Represéntese gráficamente la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

Vértice 1:

Vértice 2:

Vértice 3:

Vértice 4:

Determínense los puntos en los que la función $f(x, y) = 3x - y$ alcanza sus valores máximo y mínimo en $S$ , indicando el valor de $f$ en dichos puntos.

Opción A - Ejercicio 3 · Análisis

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Considérese la función real de variable real: $f(x) = \frac{x}{1 - 4x^2}$

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$ .

b) Estúdiense las asíntotas de $f$ .

Opción A - Ejercicio 4 · Probabilidad

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se va a celebrar una carrera popular. Entre los participantes, dos de cada tres hombres y tres de cada cuatro mujeres han entrenado para la carrera.

Se eligen al azar y de forma independiente un hombre y una mujer de entre los participantes. Calcúlese la probabilidad de que alguno de ellos haya entrenado para la carrera.

Si el 65 % de los participantes son hombres y el 35 % mujeres y se elige un participante al azar, calcúlese la probabilidad de que sea hombre sabiendo que ha entrenado para la carrera.

Opción A - Ejercicio 5 · Inferencia Estadística

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de z.

z ·,00 ·,01 ·,02 ·,03 ·,04 ·,05 ·,06 ·,07 ·,08 ·,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7703 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9954 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,9965 · 0,9966 · 0,9967 · 0,9968 · 0,9969 · 0,9970 · 0,9971 · 0,9972 · 0,9973 · 0,9974

2,8 · 0,9974 · 0,9975 · 0,9976 · 0,9977 · 0,9977 · 0,9978 · 0,9979 · 0,9979 · 0,9980 · 0,9981

2,9 · 0,9981 · 0,9982 · 0,9982 · 0,9983 · 0,9984 · 0,9984 · 0,9985 · 0,9985 · 0,9986 · 0,9986

3,0 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9988 · 0,9988 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9990 · 0,9990

Ejercicio 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

La distancia anual, en kilómetros (km), que recorren las furgonetas de una empresa de reparto, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ km y desviación típica $\sigma = 24\,000$ km.

Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que la amplitud del intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$ sea a lo sumo de $23\,520$ km.

Se toma una muestra aleatoria simple de $25$ furgonetas. Suponiendo que $\mu = 150\,000$ km, calcúlese la probabilidad de que la distancia media anual observada, $\bar{X}$ , esté entre $144\,240$ km y $153\,840$ km.

Opción B - Ejercicio 1 · Álgebra

OPCIÓN B

Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$ :

$\left\{\begin{aligned}

x + 3y + z &= a \\

2x + ay - 6z &= 8 \\

x - 3y - 5z &= 4

\end{aligned}\right.$

Discútase el sistema en función de los valores del parámetro real $a$ .

$a =$

Resuélvase para $a = 4$ .

$x =$

$y =$

$z =$

Opción B - Ejercicio 2 · Análisis

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Los beneficios, en millones de euros, de una determinada inversión vienen dados por la función $f(x) = x^3 - 12x$ , donde $x$ representa cierto índice que puede tomar cualquier valor real.

Determínese, en el caso de que exista, el valor del índice para el que el beneficio es mayor que el de todos los valores de un entorno suyo. ¿Cuál sería el beneficio para ese valor del índice?

millones de euros

Supóngase que el valor actual del índice es $x = 4$ y que está previsto que éste experimente un incremento positivo. Justifíquese si el beneficio aumentará o disminuirá.

Opción B - Ejercicio 3 · Análisis

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

$f(x) = \begin{cases} x^3 + 2\,e^x & \text{si } x < 0, \\[2ex] \dfrac{2}{3 + x} & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$

Determínense el dominio de $f(x)$ y estúdiese su continuidad.

Calcúlese $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\,dx$ .

Opción B - Ejercicio 4 · Probabilidad

OPCIÓN B

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0{,}4$ , $P(B) = 0{,}6$ y $P(A \cup B) = 0{,}8$ . Calcúlese:

Nota: $\overline{S}$ denota el suceso complementario del suceso $S$ .

$P(\overline{A} \cap B)$ .

$P(\overline{A \cup B} \mid A)$ .

Opción B - Ejercicio 5 · Inferencia Estadística