Examen de Física PAU Madrid 2021 · Extraordinaria

Pregunta A.1.- Una nave espacial ha quedado atrapada en una órbita circular en torno a un planeta esférico desconocido. Los sistemas de navegación de la nave indican que su velocidad orbital es de $25000\text{ km h}^{-1}$ y que tarda $5\text{ horas}$ en dar una vuelta completa alrededor del planeta.

a)

Determine el radio de la órbita circular de la nave y la masa del planeta.

b)

Si la densidad del planeta es de $16150\text{ kg m}^{-3}$, calcule el radio del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2}$.

Pregunta A.2.- Anacleto, el agente secreto, está grabando con un teléfono inteligente, a través de una pared, una conversación muy delicada del malvado Vázquez. La distancia entre ambos es de $5\text{ m}$ y, por efecto de la pared, al teléfono solo llega un $2\,\%$ de la intensidad que llegaría si no hubiese pared. Se sabe que el nivel de intensidad sonora de una conversación a $1\text{ metro}$ es de $50\text{ dB}$.

a)

Calcule el nivel de intensidad sonora que llega al teléfono inteligente.

b)

Si el teléfono es capaz de grabar conversaciones a $100\text{ metros}$ de distancia, ¿cuál es el nivel más bajo de intensidad sonora que es capaz de medir?

Dato: Intensidad umbral de audición, $I_0 = 10^{-12}\text{ W m}^{-2}$.

Pregunta A.3.- Se tienen tres hilos indefinidos de corriente (ver figura). Los hilos de intensidades $I_1 = 2\text{ A}$ e $I_2 = 2\text{ A}$ son paralelos al eje $x$ y pasan por los puntos $(0, 0, 0)$ y $(0, 0, 4)\text{ m}$, respectivamente. El tercer hilo, con una intensidad $I_3 = 3\text{ A}$ pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al eje $y$. En todos los casos la corriente va en el sentido positivo de los ejes.

Calcule:

a)

El campo magnético total creado por los tres hilos en el punto $(0, 0, 2)\text{ m}$.

b)

La fuerza magnética por unidad de longitud que ejerce el hilo de intensidad $I_1$ sobre el hilo de intensidad $I_2$. ¿La fuerza es atractiva o repulsiva?

Atractiva

Repulsiva

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\text{ N A}^{-2}$.

Pregunta A.4.- Sea un sistema óptico formado por dos lentes convergentes, una lente A de distancia focal $f'_A$ y otra B, situada $80\text{ cm}$ a la derecha de A, de distancia focal $f'_B = 30\text{ cm}$. Un objeto de $5\text{ cm}$ de altura está situado $15\text{ cm}$ a la izquierda de la lente A.

a)

Si la imagen del objeto formada por el sistema de lentes aparece $75\text{ cm}$ a la derecha de la lente B, ¿cuánto vale la distancia focal de la lente A y el tamaño de la imagen formada por el sistema de lentes?

b)

¿Dónde hay que situar el objeto a la izquierda de la lente A, para que el sistema de lentes forme la imagen en el infinito?

Pregunta A.5.- En un experimento realizado en un acelerador de partículas se han originado un electrón relativista de velocidad $0{,}75c$, siendo $c$ la velocidad de la luz, y un fotón de $15\text{ MeV}$ de energía.

a)

Calcule la masa relativista y la energía cinética del electrón.

b)

Determine la longitud de onda del fotón y la longitud de onda de De Broglie del electrón.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C}$; Masa del electrón en reposo, $m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\text{ kg}$; Constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\text{ J s}$; Velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^8\text{ m s}^{-1}$.

Pregunta B.1.- Una partícula de masa $m$ se encuentra en el origen de coordenadas de un sistema de referencia $(x, y)$. La componente $x$ del campo gravitatorio creado por la partícula en el punto $(2, 2)\text{ m}$ es $-1{,}18\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}$.

a)

Calcule el valor de la masa $m$.

b)

¿Cuál es el trabajo que realiza el campo para llevar una partícula de masa $M = 5\text{ kg}$ desde el punto $(4, 0)\text{ m}$ al punto $(2, 2)\text{ m}$?

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

Pregunta B.2.- Una onda transversal se propaga en una cuerda situada a lo largo del eje $x$. La propagación de la onda es en el sentido positivo del eje $x$. La expresión matemática de la onda en los instantes $t = 0\text{ s}$ y $t = 2\text{ s}$ es $y(x, 0) = 0{,}1\cos(\pi - 4\pi x)\text{ m}$ e $y(x, 2) = 0{,}1\cos(11\pi - 4\pi x)\text{ m}$, respectivamente, donde todas las magnitudes están expresadas en el SI de unidades. Calcule:

a)

La frecuencia angular y la expresión matemática de la onda.

b)

La velocidad de propagación de la onda y la aceleración máxima de oscilación de un punto de la cuerda.

Pregunta B.3.- Un espectrómetro de masas es un dispositivo para medir la masa de los iones y cuyo esquema se muestra en la figura. Consta de un selector de velocidades, en el que, mediante un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares, se seleccionan únicamente los iones que viajan en línea recta paralela al eje $x$ de la figura y con un valor determinado de la velocidad. A continuación, los iones pasan a una segunda región con un campo magnético perpendicular a la velocidad de los iones, de forma que éstos realizan una trayectoria circular. En el experimento se usan iones positivos de oxígeno $^{18}\text{O}^+$ cuya masa es $2{,}7\cdot 10^{-26}\text{ kg}$ y su carga es $+e$. En el selector de velocidades los campos eléctrico y magnético son $\vec{E} = 4{,}0\cdot 10^5\,\vec{j}\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}$ y $\vec{B}_1 = 2\,\vec{k}\text{ T}$. El campo magnético en la segunda región del espectrómetro de masas es $\vec{B}_2 = 5\,\vec{k}\text{ T}$. Calcule:

a)

La velocidad de los iones de oxígeno que viajan en línea recta a lo largo del eje $x$ en el selector de velocidades.

b)

El radio de la órbita circular descrita por los iones en la segunda región del espectrómetro de masas donde el campo magnético es $B_2$.

Dato: Valor absoluto de la carga de electrón, $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C}$.

Pregunta B.4.- Sean dos medios A y B de índices de refracción $n_A$ y $n_B$, respectivamente. Un rayo de luz de frecuencia $6{,}04\cdot 10^{14}\text{ Hz}$ incide desde el medio A hacia el medio B, verificándose que el ángulo límite para la reflexión total es $45{,}58^\circ$. Sabiendo que $n_A - n_B = 0{,}6$, determine:

a)

Los índices de refracción $n_A$ y $n_B$ de ambos medios.

b)

Las longitudes de onda del rayo de luz incidente en los medios A y B.

Dato: Velocidad de la luz en el vacío, $c = 3\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

El patrón del kilogramo es un cilindro hecho con una aleación de platino-iridio (90 % en masa de Pt) que se encuentra en un museo de París. El platino está formado por diversos isótopos, uno de ellos, el $^{190}\text{Pt}$, es radiactivo siendo su tiempo de semidesintegración de $6{,}5\cdot 10^{11}$ años. El porcentaje del isótopo $^{190}\text{Pt}$ en una muestra de platino es del 0,012 % en masa.

Datos

Masa atómica del isótopo $^{190}\text{Pt}$, $M = 189{,}96\text{ u}$; Número de Avogadro, $N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}$.

a)

Calcule la actividad inicial del patrón del kilogramo.

b)

¿Cuál será la masa final del platino $^{190}\text{Pt}$ que queda en el patrón del kilogramo transcurridos mil millones de años?