Examen de Física PAU Madrid 2025 · Extraordinaria

Bloque Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas (En esta pregunta no hay opcionalidad.)

Pregunta 1.- En Lund, Suecia, se está construyendo la futura Fuente Europea de Neutrones por Espalación. Los neutrones, por las características de la interacción neutrón-materia, son una herramienta muy eficiente para estudiar, analizar y comprender la estructura y propiedades de la materia. Las instalaciones de la Fuente Europea de Neutrones constan de un acelerador lineal en el que se aceleran protones, $\mathrm{H}^+$, hasta alcanzar, al final del acelerador, una energía cinética de $2\text{ GeV}$. Posteriormente, se hace impactar el haz de protones sobre un blanco, consistente en un bloque giratorio de tungsteno mantenido a baja temperatura. Como consecuencia del choque el blanco emite neutrones. A los neutrones se les hace pasar por diferentes moderadores, áreas a una determinada temperatura, para modificar su energía cinética.

Datos

Velocidad de la luz en el vacío, $c = 3{,}0\cdot 10^8\text{ m s}^{-1}$; Valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C}$; Masa del protón en reposo, $m_{p0} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\text{ kg}$; Masa del neutrón, $m_n = 1{,}67\cdot 10^{-27}\text{ kg}$; Constante de Planck, $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\text{ J s}$.

a)

Determine la masa relativista de los protones al final del acelerador lineal, cuando su energía cinética es de $2\text{ GeV}$. [1,5 puntos]

b)

Si se obtienen neutrones con una energía cinética de $25\text{ meV}$ (no relativista), ¿cuál es el valor de su velocidad y de la longitud de onda de de Broglie? [1 punto]

Bloque Campo gravitatorio (Elija una entre las preguntas 2.A. y 2.B.)

Pregunta 2.A.- Una nave alienígena se sitúa en una órbita circular de radio $r$ en torno a la Tierra. Los tripulantes de la nave observan que tardan $1{,}59\text{ horas}$ en dar una vuelta completa y saben que la velocidad de escape desde la órbita es $10{,}7\text{ km s}^{-1}$.

Dato

Constante de Gravitación Universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2}$.

a)

Deduzca las expresiones del periodo de la órbita de la nave y de la velocidad de escape desde la órbita en función de $G$, de la masa de la tierra $M_T$, y del radio de la órbita $r$. [1 punto]

b)

Calcule el radio de la órbita de la nave y la masa de la Tierra. [1,5 puntos]

Bloque Campo gravitatorio (Elija una entre las preguntas 2.A. y 2.B.)

Pregunta 2.B.- Sean dos partículas idénticas de masas $m_1 = m_2 = 3\text{ kg}$, situadas en los puntos $P_1(0,0)\text{ m}$ y $P_2(6,0)\text{ m}$ del plano $xy$.

Dato

Constante de Gravitación Universal, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2}$.

a)

Halle el campo gravitatorio creado por ambas partículas en el punto $(3,3)\text{ m}$. [1,5 puntos]

b)

Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para llevar una partícula de masa $m = 1\text{ kg}$ desde el punto $(3,3)\text{ m}$ al punto $(0,3)\text{ m}$. [1 punto]

Bloque Vibraciones y Ondas (Elija una entre las preguntas 3.A. y 3.B.)

Pregunta 3.A.- Un muelle de constante elástica $k$ tiene uno de sus extremos unido a una pared y el otro unido a un bloque de masa $m$. El bloque se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Si el bloque se separa una distancia de $5\text{ cm}$ con respecto a la posición de equilibrio y se suelta, se observa que su energía cinética al pasar por el punto de equilibrio es $0{,}02\text{ J}$.

a)

(1 punto) Determine la constante elástica del muelle, $k$.

b)

(1,5 puntos) Si la masa del bloque es $m = 4\text{ kg}$, calcule el periodo de las oscilaciones y el módulo de la velocidad del bloque cuando el desplazamiento con respecto al punto de equilibrio sea $x = 2\text{ cm}$.

Bloque Vibraciones y Ondas (Elija una entre las preguntas 3.A. y 3.B.)

Pregunta 3.B.- Se sitúa a la izquierda de una lente convergente un objeto de $4\text{ cm}$ de altura, formándose una imagen real de tamaño $2\text{ cm}$. La distancia entre la posición del objeto y la posición de la imagen es de $45\text{ cm}$.

a)

(1,5 puntos) Determine la posición del objeto, de la imagen y la distancia focal de la lente.

b)

(1 punto) Halle la posición en la que hay que colocar el objeto para que el tamaño de la imagen real que se forme sea de $4\text{ cm}$. Realice en este caso el correspondiente diagrama de rayos.

Bloque Campo electromagnético (Elija una entre las preguntas 4.A. y 4.B.)

Pregunta 4.A.- Un espectrómetro de masas consta de un selector de velocidades (figura (a)) y de un detector de iones (figura(b)).

Datos:

Número de Avogadro, $N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}$; Valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C}$; Masa atómica del ion $\text{Ca}^{2+}$, $40\text{ u}$.

a)

(1 punto) En el selector de velocidades, figura (a), hay un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares para que solo los iones que tengan una cierta velocidad y viajen en línea recta lleguen al detector. Si el campo magnético es $\vec{B}_1 = 1{,}0\vec{j}\text{ mT}$ y se han inyectado iones $\text{Ca}^{2+}$, ¿cuál es el valor del campo eléctrico $\vec{E}$ para que únicamente los iones con una velocidad $\vec{v} = 2{,}4\cdot 10^5\vec{i}\text{ m s}^{-1}$ lleguen al detector?

b)

(1,5 puntos) A la salida del selector de velocidades, los iones penetran en una región con un campo magnético $\vec{B}_2 = 1{,}5\vec{j}\text{ T}$ que les hace describir una trayectoria circular, tal y como se indica en la figura (b). ¿Cuál es el radio de la trayectoria?

Bloque Campo electromagnético (Elija una entre las preguntas 4.A. y 4.B.)

Pregunta 4.B.- Un hilo rectilíneo infinito paralelo al eje $z$ pasa por el punto $(0, 6, 0)\text{ cm}$ y transporta una corriente $I = 5\text{ A}$ en el sentido positivo del eje $z$.

Dato:

Permeabilidad magnética del vacío, $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\text{ T m A}^{-1}$.

a)

(1,25 puntos) Calcule el campo magnético creado por el hilo en el punto $(4, 2, 0)\text{ cm}$.

b)

(1,25 puntos) Determine la intensidad de corriente que debe transportar un segundo hilo rectilíneo infinito que se sitúe paralelo al eje $z$ y que pase por el punto $(6, 0, 0)\text{ cm}$ para que el campo magnético total en el punto $(4, 2, 0)\text{ cm}$ sea cero.