Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests

Y 0 flashcards y 26 preguntas más en el documento.

Texto del documento

APUNTES FÍSICA EvAU Comunidad de Madrid AprenAI 2026-2027 Todo el temario de Física de 2º de Bachillerato para la EvAU de Madrid, de Kepler a la radiactividad, con esquemas, 52 preguntas de test y formulario final. APREN.AI Índice Tema 1: Campo gravitatorio 1 Leyes de Kepler y dinámica del campo 1. Fundamentos cinemáticos y magnitudes del movimiento orbital 2. Cinemática planetaria: Las tres leyes de Kepler 3. Dinámica gravitatoria: Ley de gravitación universal 4. Intensidad del campo gravitatorio 5.

Principio de superposición y cálculo vectorial para sistemas de masas 2 Energía orbital y velocidad de escape Carácter conservativo del campo gravitatorio Potencial y energía potencial gravitatoria Dinámica y energía de las órbitas circulares Velocidad de escape y clasificación de trayectorias Puesta en órbita y maniobras de transferencia 3 Potencial y energía potencial de un sistema de varias masas Potencial creado por varias masas: suma escalar Trabajo del campo entre dos puntos Energía potencial de un sistema de masas 4 Energía y velocidades en órbitas elípticas Puntos característicos y semieje mayor Energía mecánica de la órbita elíptica Velocidades en el perihelio y en el afelio Trabajo del campo entre perihelio y afelio Cambio de órbita mediante un impulso Qué órbita describe un cuerpo según su velocidad 5 Introducción a la cosmología y la astrofísica Origen y expansión del universo Composición del universo Movimiento de estrellas y galaxias Evolución estelar: la gravedad como motor Repercusión de la investigación espacial Tema 2: Campo electromagnético 6 Campo eléctrico y ley de Gauss Interacción electrostática y ley de Coulomb Vector intensidad de campo eléctrico Energía potencial y potencial electrostático Flujo eléctrico y teorema de Gauss Comparación entre campo gravitatorio y campo electrostático 7 Conductores en equilibrio, corteza esférica, jaula de Faraday y cargas en campo uniforme Conductor en equilibrio electrostático Esfera conductora o corteza esférica cargada Jaula de Faraday y apantallamiento Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 1 Energía electrostática de un sistema de cargas Carga en un campo eléctrico uniforme entre placas 8 Líneas de campo y superficies equipotenciales (gravitatorio y eléctrico) Superficies equipotenciales Relación con las líneas de campo Por qué el trabajo es nulo sobre una equipotencial Las equipotenciales no se cortan Mapas de líneas de campo 9 Campo magnético y fuerzas de Lorentz 1.

Fuentes y naturaleza del campo magnético 2. Acción del campo magnético sobre cargas puntuales: Fuerza de Lorentz 3. Partículas en campos cruzados: Selector de velocidades y espectrometría 4. Creación de campos magnéticos: Ley de Biot-Savart y ley de Ampère 5.

Fuerzas magnéticas sobre conductores y entre corrientes paralelas 10 Campo de una espira y de un toroide, líneas de campo y momento de fuerzas sobre una espira Campo magnético de una espira circular Campo magnético de un toroide Mapas de líneas de campo magnético Par de fuerzas sobre una espira en un campo uniforme Aplicación: el motor de corriente continua Cargas en campos: fenómenos naturales y aplicaciones 11 Inducción electromagnética y ley de Faraday 1. Flujo magnético 2. Las leyes de Faraday y Lenz 3. Mecanismos de inducción electromagnética 4.

Metodología para determinar el sentido de la corriente inducida 12 Generadores, motores y transformadores Fem alterna de una espira en rotación: gráficas Alternador frente a dinamo El motor eléctrico: un generador al revés El transformador ideal Transporte de energía a alta tensión Tema 3: Vibraciones y ondas 13 Cinemática y energía del movimiento ondulatorio 1. El oscilador armónico simple: cinemática, dinámica y energía 2. Concepto y clasificación de las ondas 3. Cinemática del movimiento ondulatorio: la ecuación de onda armónica 4. Velocidad y aceleración de oscilación frente a velocidad de propagación 5. Fase y desfase espacial y temporal 6.

Energía y potencia transmitidas por la onda 14 Representación gráfica del MAS y de las ondas Gráficas del oscilador frente al tiempo Gráficas de la energía Las dos gráficas de una onda Fase inicial a partir de la gráfica Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 2 Sentido de propagación y movimiento de cada punto 15 Acústica y propiedades del sonido 1. Naturaleza y propagación del sonido 2. Cualidades fisiológicas del sonido 3. Potencia, intensidad sonora y atenuación geométrica 4. Nivel de intensidad sonora (escala de decibelios) 5. Ejemplo resuelto: propagación y superposición de focos 6. Efecto Doppler sonoro Tema 4: Óptica 16 Naturaleza de la luz y óptica física 1.

Debate histórico sobre la naturaleza de la luz 2. La luz como onda electromagnética y su velocidad 3. Leyes de la reflexión y de la refracción (Leyes de Snell) 4. Reflexión total interna y ángulo límite 5. Fenómenos ondulatorios de la luz 6.

Procedimientos y resolución de problemas tipo EvAU 17 El prisma óptico como sistema de dos superficies planas Elementos del prisma Cómo se sigue un rayo Cuándo el rayo no sale por la segunda cara Incidencia normal en la primera cara Dispersión de la luz 18 Fenómenos ondulatorios generales y espectro electromagnético Principio de Huygens Reflexión, refracción y difracción Interferencia Ondas estacionarias Atenuación: ondas planas y esféricas Aplicaciones tecnológicas de las ondas mecánicas Espectro electromagnético 19 Óptica geométrica y lentes delgadas 1. Fundamentos de la óptica geométrica y convenio de signos 2. Espejos planos y espejos esféricos 3.

Lentes delgadas: clasificación y elementos geométricos 4. Ecuaciones fundamentales de las lentes delgadas 5. Trazado geométrico de rayos e imágenes formadas 6.

Sistemas de lentes compuestas 20 Espejos esféricos: trazado de rayos y tipos de imagen Elementos y convenio de signos Rayos principales Espejo cóncavo: imagen según la posición del objeto Espejo convexo Lectura del signo del aumento 21 El ojo humano y defectos de la visión El ojo humano como sistema óptico centrado Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 3 Acomodación y límites de la visión nítida Defectos de la refracción y su compensación óptica Asociación de lentes en instrumentos ópticos Tema 5: Física moderna 22 Relatividad especial Los dos postulados de la relatividad especial El factor de Lorentz y la cinemática relativista Dinámica relativista y equivalencia masa-energía Comparativa: Mecánica clásica frente a Mecánica relativista 23 Relatividad galileana, sistemas no inerciales y experimento de Michelson-Morley Sistemas de referencia inerciales y no inerciales Transformaciones de Galileo El problema de la luz y el éter El experimento de Michelson-Morley (1887) 24 Física cuántica y efecto fotoeléctrico La hipótesis cuántica de Planck El efecto fotoeléctrico La explicación de Einstein y el balance energético Potencial de frenado Dualidad onda-corpúsculo: la hipótesis de De Broglie Principio de incertidumbre de Heisenberg 25 Espectros atómicos, cuerpo negro y aplicaciones de la física cuántica Espectros atómicos: la huella de cada elemento Modelo de Bohr y niveles cuantizados Potencia de un haz y número de fotones Radiación del cuerpo negro y catástrofe ultravioleta Aplicaciones tecnológicas 26 Física nuclear y radiactividad 1.

Constitución del núcleo atómico y estabilidad nuclear 2. Defecto de masa y energía de enlace 3. Tipos de emisión radiactiva y leyes de Soddy y Fajans 4. Cinética de la desintegración radiactiva 5.

Física de partículas y el Modelo Estándar 27 Reacciones nucleares, efectos y aplicaciones de las radiaciones, aceleradores y fronteras de la física Reacciones nucleares: qué se conserva y cuánta energía sale La fuerza nuclear fuerte Efectos biológicos y protección Aplicaciones Aceleradores de partículas Fronteras de la física 28 Formulario Tema 1: Campo gravitatorio Tema 2: Campo eléctrico Tema 2: Campo magnético e inducción Tema 3: Vibraciones, ondas y sonido Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 4 Tema 4: Óptica Tema 5: Relatividad y física cuántica Tema 5: Física nuclear Constantes y valores Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 5 1 Leyes de Kepler y dinámica del campo 1.

Fundamentos cinemáticos y magnitudes del movimiento orbital Para abordar la interacción gravitatoria y el movimiento de los cuerpos celestes resulta imprescindible fijar las magnitudes cinemáticas y geométricas básicas. Consideremos un cuerpo esférico homogéneo de masa y radio . Su volumen viene dado por , por lo que su densidad media se define como el cociente entre su masa y dicho volumen: .

Cuando una partícula de masa describe una trayectoria en el espacio con velocidad , su cantidad de movimiento o momento lineal se define como el producto de su masa inercial por su velocidad: En el caso particular de un movimiento circular uniforme de radio (donde la longitud recorrida en una revolución completa es ), la relación entre el periodo orbital (tiempo invertido en completar una vuelta), la velocidad angular y la velocidad orbital lineal queda determinada por: 2.

Cinemática planetaria: Las tres leyes de Kepler A comienzos del siglo XVII, Johannes Kepler sintetizó décadas de observaciones astronómicas empíricas en tres leyes fundamentales que describen el movimiento planetario en el sistema solar: Primera ley (ley de las órbitas) Cada planeta describe una órbita elíptica en uno de cuyos focos se sitúa el Sol.

TEMA 1 Campo gravitatorio 1 Leyes de Kepler y dinámica del campo 2 Energía orbital y velocidad de escape 3 Potencial y energía potencial de un sistema de varias masas 4 Energía y velocidades en órbitas elípticas 5 Introducción a la cosmología y la astrofísica M R V = πR 3 4 3 ρ = V M m v p = mv r L = 2πr T ω v ω = , v = T 2π ωru t v = T 2πr Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 6 Esquema de órbita elíptica señalando el perihelio (p) y afelio (a). Una consecuencia directa de la geometría elíptica es que la distancia entre el planeta y el astro central varía de forma continua.

Se denomina perihelio al punto de la trayectoria más próximo al centro solar, y afelio a la posición orbital más alejada. Segunda ley (ley de las áreas) y conservación del momento angular El segmento rectilíneo (radio vector ) que une el centro del Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. La rapidez con la que se cubre dicha superficie se conoce como velocidad areolar ( ): Esta regularidad geométrica es una consecuencia de la naturaleza de las fuerzas centrales. Una fuerza central actúa siempre en la dirección de la recta que une los centros de ambos cuerpos ( ), lo que anula el momento de la fuerza ( ).

Según el teorema del momento angular: El vector momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido, obligando a que la órbita esté confinada enteramente en un plano perpendicular a dicho vector. El diferencial de área barrido por el radio vector en un tiempo diferencial corresponde a la mitad del paralelogramo delimitado por y : Dado que en los extremos del eje mayor (perihelio y afelio) el vector de posición y el vector velocidad son rigurosamente perpendiculares ( ), el módulo del momento angular se reduce a .

Aplicando la constancia de : Puesto que la distancia al afelio es mayor que al perihelio ( ), la velocidad del planeta debe ser necesariamente mayor en el perihelio que en el afelio ( ). Tercera ley (ley de los periodos) El cuadrado del periodo de revolución orbital de cualquier planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor (o radio medio orbital en aproximación circular) de su trayectoria: Donde la constante es común para todos los cuerpos que orbitan alrededor del mismo astro central.

r v areolar v = areolar = dt dA cte F × r = 0 M = O r × F = 0 = dt dL M = O 0 L = r × mv = constante L dt r dr dA = r × 2 1 dr = r × 2 1 v dt = dt v = 2m L areolar 2m L r v sen(90 ) = 1 L = rmv L L = afelio L r mv = perihelio a a r mv r v = p p a a r v p p r > a r p v > p v a a r = r3 T2 C C Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 7 3. Dinámica gravitatoria: Ley de gravitación universal Isaac Newton formuló la ley que explica físicamente las regularidades descritas por Kepler: dos masas puntuales separadas en el espacio experimentan una atracción mutua a lo largo de la recta que las une.

La fuerza gravitatoria que la masa ejerce sobre la masa separadas una distancia se expresa vectorialmente como: Donde es el vector unitario radial dirigido desde la masa causante de la interacción hasta la masa sobre la que actúa la fuerza, el signo negativo constata el carácter puramente atractivo de la interacción gravitatoria, y representa la constante de gravitación universal. Deducción dinámica de la 3ª ley de Kepler para órbitas circulares Para un satélite o planeta que recorre una órbita circular uniforme de radio alrededor de una masa central , la única fuerza que actúa es la atracción gravitatoria dirigida radialmente hacia el centro.

Por tanto, la fuerza gravitatoria desempeña el papel exclusivo de fuerza centrípeta ( ): Diagrama de fuerzas en una órbita circular con equilibrio dinámico.

PROCESO Deducción de la tercera ley de Kepler 1 Condición di námica La atracción gravitatoria actúa como fuerza centrípeta 2 Velocidad orbi tal Se despeja el módulo de la velocidad circular 3 Relación cine mática Se sustituye la velocidad en función del periodo T 4 Ley de los pe riodos Se obtiene T²/r³ = 4π²/(GM) M m r F = g G u r2 Mm r u = r r r G = 6,67 × 10 N 11 m kg 2 2 r M F = g F c Igualamos la atracción gravitatoria con la expresión de la fuerza centrípeta: 1 G = r2 Mm m v = r v2 2 G r M Sustituimos la definición cinemática de la velocidad circular ( ): 2 v = T 2πr ( ) = T 2πr 2 G = r M T2 4π r 2 2 G r M Reorganizamos los términos aislando las variables orbitales en un miembro: 3 = r3 T2 GM 4π2 Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 8 PARA RECORDARLO La constante de proporcionalidad de la tercera ley depende de la masa del cuerpo central ( ), no de la masa del cuerpo que orbita ( ).

Todos los satélites que giran en torno a la Tierra comparten el mismo cociente , mientras que los planetas en torno al Sol comparten otro valor determinado por la masa solar. 4. Intensidad del campo gravitatorio DEFINICIÓN La intensidad del campo gravitatorio ( ) en un punto del espacio es la fuerza gravitatoria experimentada por unidad de masa testigo colocada en dicho punto: . Su unidad en el Sistema Internacional es el N/kg (equivalente a ).

Para una masa puntual situada en el origen, el vector intensidad de campo gravitatorio a una distancia viene dado por: El signo negativo indica que el campo siempre está orientado hacia la masa que lo origina (líneas de campo radiales y convergentes hacia la masa fuente).

Variación de la gravedad con la altura En la superficie de un planeta de radio y masa , la aceleración de la gravedad tiene un módulo de: Si elevamos un cuerpo a una altura por encima de la superficie esférica, la distancia efectiva al centro del planeta pasa a ser , resultando: De esta expresión se concluye que la gravedad disminuye de forma cuadrática e inversa con la distancia al centro planetario, siendo nula en el límite asintótico del infinito.

Parámetro En la superficie ( ) A una altura A una altura Distancia al centro ( ) Aceleración de la gravedad ( ) (25 % de ) (11,1 % de ) ERROR FRECUENTE Al calcular la gravedad a una cierta altura , no emplees simplemente en el denominador de la fórmula. La atracción gravitatoria se computa desde el centro de masas del astro, por lo que el denominador debe ser la suma . 5.

Principio de superposición y cálculo vectorial para sistemas de masas Cuando el campo es originado por una distribución discreta de varias masas puntuales ( ), el campo resultante en cualquier punto es la suma vectorial directa de los campos individuales generados por cada una de ellas (principio de superposición): M m r3 T2 g g = m F g m/s2 M r g = G u r2 M r R M g = 0 G R2 M h r = R + h g = h G = (R + h)2 M g ( ) 0 R + h R 2 h = 0 h = R h = 2R r R 2R 3R g h g 0 4 g 0 g 0 9 g 0 g 0 h h (R + h)2 M , M , ..., M 1 2 n P g (P ) = T g (P ) + 1 g (P ) + 2 + g (P ) = n g (P ) = i=1 n i G u i=1 n r i 2 M i r i Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 9 Para determinar de forma rigurosa el campo gravitatorio total en dos dimensiones se deben seguir estos pasos: Para magnitudes escalares del campo gravitatorio, como el potencial gravitatorio o el cálculo del trabajo mediante , consúltese la sección «Tema 1: Campo gravitatorio — Energía orbital y velocidad de escape».

EJEMPLO En el plano disponemos de dos masas fijas: en el punto y en el punto . Determinar el vector campo gravitatorio total generado en el punto . Paso 1: Posición y distancia de cada masa a Vector desde hacia : . Distancia . Vector desde hacia : . Distancia . Paso 2: Vectores unitarios directores Paso 3: Cálculo vectorial de cada campo El módulo base de interacción para ambas masas es: Aplicando la dirección atractiva ( ): Paso 4: Suma vectorial resultante Por simetría, las componentes sobre el eje se cancelan y las componentes en el eje se refuerzan en sentido negativo: Calcular los vectores que van desde cada masa hasta el punto : .

1 M i P r = i r P r M i Calcular la distancia euclídea: . 2 r = i r = i (x + i 2 y ) i 2 Construir el vector unitario radial correspondiente: . 3 u = r i r i r i Calcular la contribución vectorial de cada masa: . 4 g = i G u r i 2 M i r i Sumar analíticamente por componentes cartesianas: .

5 g = T g i + ( ix) g j ( iy) V = G r M W = A B ΔE = p mΔV XY M = 1 3 × 10 kg 12 A(0, 4) m M = 2 3 × 10 kg 12 B(0, 4) m P (3, 0) m P A P r = 1 (3 0)i + (0 4)j = 3i 4j m r = 1 (3 + 2 ( 4) ) = 2 25 = 5 m B P r = 2 (3 0)i + (0 ( 4))j = 3i + 4j m r = 2 (3 + 2 4 ) = 2 5 m u = r 1 = 5 3i 4j i 5 3 j 5 4 u = r 2 = 5 3i+4j i + 5 3 j 5 4 g = 0 G = r2 M (6,67 × 10 ) = 11 52 3 × 1012 = 25 200,1 8,004 N/kg g = g u 0 r g = 1 8,004( i 5 3 j) = 5 4 4,802i + 6,403j N/kg g = 2 8,004( i + 5 3 j) = 5 4 4,802i 6,403j N/kg Y X g (P ) = T g + 1 g = 2 ( 4,802 4,802)i + (6,403 6,403)j = 9,60i N/kg Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 10 IDEAS CLAVE Las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales; por tanto, el momento de fuerza es nulo y el momento angular orbital se conserva.

La segunda ley de Kepler implica la constancia de la velocidad areolar y la relación de velocidades extremas . Para trayectorias circulares, la fuerza de atracción gravitatoria actúa como fuerza centrípeta, deduciéndose que . El campo gravitatorio es un vector atractivo convergente de módulo que decae con el cuadrado de la distancia al centro de masa. El principio de superposición establece que el campo de un sistema discreto de masas es la suma vectorial de los campos independientes producidos por cada masa. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 1. ¿Por qué un cometa viaja a máxima velocidad en el perihelio y a mínima en el afelio? 2.

¿Qué le ocurre al valor de la aceleración gravitatoria si ascendemos a una altura igual al radio terrestre ( )? TEMA 1: CAMPO GRAVITATORIO 2 Energía orbital y velocidad de escape Carácter conservativo del campo gravitatorio Una interacción es conservativa cuando el trabajo que ejerce la fuerza asociada a lo largo de cualquier trayectoria depende de forma exclusiva de las posiciones inicial y final, siendo nulo en todo camino cerrado. Como se introdujo en «Tema 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y dinámica del campo», la fuerza de atracción mutua entre dos masas es de naturaleza central y radial.

Dado que la fuerza gravitatoria es conservativa, el trabajo realizado por el campo al desplazar una partícula de masa desde una posición hasta otra equivale a la disminución de su energía potencial: Por otra parte, aplicando el teorema de las fuerzas vivas (teorema del trabajo y la energía cinética), el trabajo neto ejecutado sobre el cuerpo se traduce íntegramente en variación de su energía cinética, . Al igualar ambas expresiones surge de forma natural el principio de conservación de la energía mecánica: DEFINICIÓN Un campo conservativo es aquel en el que el trabajo a lo largo de una línea cerrada es idénticamente nulo ( ).

Esto permite asociar a cada punto del espacio una función escalar denominada energía potencial, tal que la fuerza gravitatoria satisface . Potencial y energía potencial gravitatoria Para cuantificar la energía potencial es imprescindible fijar un nivel de referencia arbitrario. En astrofísica y gravitación newtoniana se adopta por convenio el origen de energías en el infinito, punto en el que la atracción entre los cuerpos se desvanece por completo: .

r v = a a r v p p = r3 T2 GM 4π2 g = G r2 M h = R m A B W = A B ΔE = p (E p,B E ) = p,A E p,A E p,B W = A B ΔE c ΔE = c ΔE p ΔE = mec Δ(E + c E ) = p 0 E = mec,A E mec,B F d = r 0 = F E p E ( ) = p 0 Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 11 El trabajo que realiza el propio campo gravitatorio creado por una masa esférica para trasladar una masa puntual desde una distancia radial hasta el infinito se calcula integrando la fuerza gravitatoria: Puesto que por definición , obtenemos la expresión analítica de la energía potencial gravitatoria: El signo negativo es un resultado fundamental: manifiesta que las fuerzas gravitatorias son exclusivamente atractivas y que el sistema se encuentra en un estado ligado.

Para alejar las masas y separarlas indefinidamente hace falta suministrar trabajo exterior en contra del campo gravitatorio. PARA RECORDARLO A distancias finitas, la energía potencial gravitatoria siempre es negativa con el convenio habitual. Conforme nos alejamos del astro, aumenta (se hace menos negativa) hasta alcanzar su valor máximo, que es exactamente 0 en el infinito. Potencial gravitatorio El potencial gravitatorio ( ) representa la energía potencial por unidad de masa testigo situada en un punto del campo.

Se trata de una magnitud escalar cuya unidad en el Sistema Internacional es el julio por kilogramo (J/kg): El potencial describe el campo de forma puramente energética con independencia de la masa que se coloque en él. De este modo, la relación entre trabajo y diferencia de potencial entre dos puntos y queda formulada como: Dinámica y energía de las órbitas circulares Consideremos un satélite de masa que describe una trayectoria circular de radio en torno a un planeta o estrella central de masa ( ).

Como se ha visto en «Tema 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y dinámica del campo» al deducir la tercera ley de Kepler, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta: Despejando la velocidad se deduce la ecuación de la velocidad orbital: Nótese que la velocidad orbital depende exclusivamente de la masa del cuerpo atractor y del radio de la órbita (donde , siendo el radio del planeta y la altura sobre la superficie), resultando completamente independiente de la masa del satélite.

Energía mecánica del satélite en órbita La energía mecánica total de un cuerpo en órbita circular es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria: M m r W = r r Fg d = r G r ( r 2 Mm u ^r) (dr ) = u ^r GMm = [ r 1 ] r r GMm W = r E (r) p E ( ) = p E (r) p 0 E (r) = p G r Mm E p V V (r) = = m E (r) p G r M A B W = A B mΔV = m(V A V ) B m r M M m F = g F c G = r2 Mm m r v orb 2 v = orb r GM M r r = R + h R h m Energía cinética: Sustituyendo el cuadrado de la velocidad orbital ( ), 1 v = orb 2 GM/r E = c mv = 2 1 orb 2 m = 2 1 ( r GM ) 2 1 r GMm Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 12 Al cotejar estos resultados se obtiene una relación de proporcionalidad directa sumamente útil en la resolución de problemas dinámicos: ERROR FRECUENTE Olvidar el signo negativo de la energía mecánica total en una órbita cerrada.

Si la energía mecánica de un sistema ligado fuese positiva, el satélite no permanecería atrapado por la gravedad del planeta y se alejaría sin límite hacia el espacio exterior. Velocidad de escape y clasificación de trayectorias La velocidad de escape ( ) es la velocidad mínima inicial que debe comunicarse a un cuerpo situado en reposo en un punto del campo para que se aleje indefinidamente y alcance el infinito con velocidad residual nula, venciendo por completo la ligadura gravitatoria del astro sin propulsión adicional.

Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica entre el punto de partida (a una distancia radial ) y el infinito: Puesto que por definición en el límite mínimo y , la energía mecánica total debe anularse: Si el lanzamiento se efectúa desde la superficie de un astro de radio , la velocidad de escape toma la forma: donde es la aceleración de la gravedad en la superficie. Comparando la velocidad de escape con la velocidad de una órbita circular a la misma distancia radial, se aprecia de inmediato que .

Energía potencial: Directamente evaluada en el radio orbital , 2 r E = p r GMm Energía mecánica total: Sumando ambos términos, 3 E = mec E + c E = p 2 1 r GMm = r GMm 2 1 r GMm E = mec E = c E 2 1 p v e r E (r) = mec E ( ) mec mv + 2 1 e 2 G = ( r Mm ) mv + 2 1 2 E ( ) p v = 0 E ( ) = p 0 mv 2 1 e 2 G = r Mm 0 v = e r 2GM R v = e = R 2GM 2g R 0 g = 0 GM/R2 v = e 2 v orb Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 13 ESQUEMA Regímenes dinámicos según la energía mecánica El valor del balance energético determina de manera unívoca la geometría cónica de la trayectoria del proyectil o nave espacial: Energía mecánica ( ) Velocidad inicial ( ) Tipo de órbita / trayectoria Estado dinámico Circular Ligado (periódico) (con ) Elíptica Ligado (periódico) Parabólica Límite de escape ( ) Hiperbólica No ligado ( ) Puesta en órbita y maniobras de transferencia Para colocar en órbita circular de radio un satélite que inicialmente descansa sobre la superficie de un planeta de masa y radio , los propulsores del cohete deben suministrar una cantidad de energía equivalente a la diferencia entre la energía mecánica final en órbita y la energía inicial en la superficie: En reposo sobre la superficie terrestre (despreciando la rotación del planeta), la energía mecánica inicial es exclusivamente potencial: Por tanto, el aporte energético neto necesario para situar el satélite en su órbita operativa es: Este trabajo se desglosa intuitivamente en dos etapas: elevar la nave hasta la altitud deseada venciendo la gravedad y acelerarla tangencialmente hasta la velocidad orbital requerida.

Trayectorias ligadas Emec menor que 0; cuerpo confinado Órbita circular Velocidad constante igual a vorb Órbita elíptica Velocidad menor que ve (distinta de vorb) Trayectorias de escape Emec mayor o igual a 0; supera la gravedad Parábola de escape Emec igual a 0; velocidad final nula Hipérbola abierta Emec mayor que 0; velocidad residual positiva E mec v E < mec 0 v = v orb E < mec 0 v < v e v = v orb E = mec 0 v = v e v = 0 E > mec 0 v > v e v > 0 r = R + h M R W = lanzamiento ΔE = mec E mec, rbita o ˊ E mec, superficie E = mec, superficie G R Mm W = lanzamiento G 2 1 r Mm G = ( R Mm ) GMm ( R 1 2r 1 ) Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 14 EJEMPLO Cálculo integral de parámetros orbitales y balances energéticos de un satélite artificial: Un satélite meteorológico de masa se sitúa en una órbita circular a una altitud de sobre la superficie terrestre.

Datos: , , .

m = 600 kg h = 800 km G = 6,67 10 N 11 m /kg 2 2 M = T 5,97 10 kg 24 R = T 6,37 10 m 6 Radio orbital: 1 r = R + T h = 6,37 10 m + 6 0,80 10 m = 6 7,17 10 m 6 Velocidad orbital: 2 v = orb = r GM T = 7,17 106 6,67 10 5,97 10 11 24 7454 m/s 7,45 km/s Periodo de revolución: 3 T = = v orb 2πr = 7454 2π 7,17 106 6044 s 1,68 h Energías en órbita: 4 E = c mv = 2 1 orb 2 2 1 600 (7454) = 2 1,67 10 J 10 E = p G = r M m T = 7,17 106 6,67 10 5,97 10 600 11 24 3,33 10 J 10 E = mec E + c E = p 1,67 10 10 3,33 10 = 10 1,67 10 J 10 Energía necesaria para la puesta en órbita desde la superficie: 5 E = mec, sup G = R T M m T = 6,37 106 6,67 10 5,97 10 600 11 24 3,75 10 J 10 W = E mec E = mec, sup 1,67 10 10 ( 3,75 10 ) = 10 2,08 10 J 10 Velocidad de escape desde la superficie: 6 v = e = R T 2GM T = 6,37 106 2 6,67 10 5,97 10 11 24 11181 m/s 11,18 km/s Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 15 EVAU · 2022, MODELO (PREGUNTA B.1) Pregunta B.1.- En un experimento similar al efectuado por Henry Cavendish en 1798 para determinar la constante de gravitación universal, una pequeña esfera, A, de masa queda situada ante dos esferas, B y C, ambas de la misma masa , de tal modo que los centros de las tres esferas corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo de catetos y , como se ilustra en la figura [un triángulo rectángulo donde la esfera B está sobre el vértice del ángulo recto a distancia de la esfera A, y la esfera C está a distancia de B, de modo que la hipotenusa une A con C].

a) ¿Qué relación debe existir entre y para que la fuerza de atracción gravitatoria de la esfera C sobre la esfera A sea la décima parte de la atracción de la esfera B sobre A? b) Si el valor de es de y se encuentra que la atracción de B sobre A es la milmillonésima parte del peso de A en la superficie terrestre, ¿cuánto vale la distancia ? Datos: Masa de la Tierra, ; Radio de la Tierra, . Resolución Apartado a) Identificamos las posiciones relativas según la geometría del triángulo rectángulo: la distancia entre la esfera A y la esfera B es el cateto .

La distancia entre la esfera A y la esfera C corresponde a la hipotenusa del triángulo cuyos catetos son y , por lo que su valor al cuadrado es . Aplicamos la ley de gravitación universal para los módulos de ambas fuerzas atractivas: El enunciado impone la condición de que la atracción ejercida por C sea una décima parte de la ejercida por B, es decir, : Simplificamos los factores comunes en ambos miembros de la ecuación: Tomando la raíz cuadrada positiva (al tratarse de magnitudes geométricas): Apartado b) El peso de la esfera A en la superficie terrestre viene dado por la fuerza de gravedad que ejerce el planeta sobre ella: .

Se establece que la atracción de B sobre A es la milmillonésima parte ( ) de dicho peso: Cancelamos la constante y la masa en ambos lados: Despejamos la distancia e introducimos los valores numéricos proporcionados: m M D d d D D d M 10 kg d M = T 5,97 10 kg 24 R = T 6,37 10 m 6 d = AB d d D r = AC 2 D + 2 d2 F = BA G d2 Mm F = CA G = r AC 2 Mm G D + d 2 2 Mm F = CA 0,1 F BA = D + d 2 2 GMm 0,1 d2 GMm GMm = D + d 2 2 1 10d2 1 D + 2 d = 2 10d 2 D = 2 9d2 D = 3d = d D 3 P = A G R T 2 M m T 10 9 F = BA 10 P 9 A G = d2 Mm 10 G 9 ( R T 2 M m T ) G m = d2 M 10 9 R T 2 M T d = 2 10 R 9 M T M T 2 d Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 16 Por consiguiente, la distancia entre los centros de las esferas A y B es de 0,26 m (26 cm).

IDEAS CLAVE El campo gravitatorio es conservativo, lo que permite definir una energía potencial escalar que satisface en ausencia de fuerzas no conservativas. Adoptando el origen de energía potencial en el infinito ( ), la energía potencial entre dos masas es siempre negativa: . En una órbita circular de radio , la energía mecánica total es estrictamente negativa y cumple la relación . La velocidad orbital viene dada por , independiente de la masa del satélite orbitante. La velocidad de escape corresponde a la rapidez mínima para desligarse del campo gravitatorio ( ) y vale . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Por qué la energía mecánica total de un satélite en órbita cerrada es negativa? 4.

¿Qué relación cuantitativa existe entre la velocidad de escape desde un punto y la velocidad orbital circular a esa misma distancia? 5. ¿Depende la velocidad de escape de un cuerpo de su propia masa o del ángulo con el que es lanzado? TEMA 1: CAMPO GRAVITATORIO 3 Energía y velocidades en órbitas elípticas Cuando hay varias masas, el potencial gravitatorio de cada una (definido en «Tema 1: Campo gravitatorio — Energía orbital y velocidad de escape») se combina con una regla muy sencilla. Esto permite calcular trabajos y energías sin manejar vectores.

Potencial creado por varias masas: suma escalar El principio de superposición dice que cada masa crea su potencial como si las demás no existieran. El potencial total en un punto P es la suma de esas contribuciones. Como el potencial es un escalar, se suman números, no vectores: Aquí es la distancia de la masa al punto P. Cada término es negativo, así que el potencial gravitatorio total es siempre negativo y solo tiende a cero lejos de todas las masas. Es la gran ventaja frente al campo, que exige descomponer en componentes.

d = R = T 10 9 M T M 6,37 10 6 10 9 5,97 1024 10 d = 6,37 10 = 6 1,675 10 15 6,37 10 6 (4,093 10 ) = 8 0,26 m ΔE = mec 0 E ( ) = p 0 E = p G r M m r E = mec E = c E = 2 1 p G 2 1 r M m v = orb r GM E = mec 0 v = e = r 2GM 2 v orb V = P G i r i M i r i M i Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 17 ERROR FRECUENTE En un punto donde el campo total es nulo, el potencial no es nulo. Por ejemplo, en el punto entre dos masas donde sus atracciones se compensan, los vectores se cancelan porque tienen sentidos opuestos. Los potenciales, en cambio, son dos números negativos que se suman y dan un valor más negativo todavía. El potencial gravitatorio nunca se anula a distancia finita.

Trabajo del campo entre dos puntos La fuerza gravitatoria es conservativa: el trabajo que realiza solo depende de los puntos inicial y final. Al llevar una masa de A a B en presencia de varias masas: Basta calcular el potencial total en A y en B con la suma anterior. Si el problema propone tres caminos distintos, el trabajo es el mismo por cualquier camino, porque no depende de la trayectoria. Por la misma razón, en un recorrido cerrado el trabajo es cero. El signo indica quién hace el trabajo: : el desplazamiento es espontáneo; el campo realiza el trabajo, por ejemplo al acercar la masa a las demás. : un agente externo debe aportar un trabajo igual a .

PROCESO Trabajo entre dos puntos con varias masas Energía potencial de un sistema de masas La energía potencial de un sistema es la energía asociada a su configuración.

Se obtiene sumando la energía de cada pareja de masas una sola vez: undefined g m W = A B m(V A V ) = B ΔE p W > 0 W < 0 W Distancias a cada masa Medir r_i desde cada masa hasta A y hasta B 1 Potencial en A V_A = G Σ M_i/r_i, suma de números negativos 2 Potencial en B V_B con la misma suma escalar 3 Trabajo del campo W = m(V_A V_B), sin importar el camino 4 Interpretar el signo W>0 espontáneo; W<0 lo aporta un agente externo 5 Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 18 IDEAS CLAVE El potencial de varias masas es la suma escalar de los potenciales individuales, , y siempre es negativo. El trabajo del campo entre A y B es y no depende del camino seguido.

Donde el campo total se anula, el potencial no es cero: los vectores se cancelan, pero los potenciales negativos se suman. La energía potencial de un sistema suma un término por cada pareja de masas, contado una sola vez. Separar un sistema hasta el infinito exige un trabajo externo igual a , que es positivo. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 6. ¿Por qué el trabajo entre A y B es igual por tres trayectorias distintas? 7. ¿Cuántos términos tiene la energía potencial de un sistema de cuatro masas? 8. En el punto entre dos masas donde g = 0, ¿cuánto vale V?

TEMA 1: CAMPO GRAVITATORIO 4 Energía y velocidades en órbitas elípticas Una órbita elíptica tiene el cuerpo central (Sol, Tierra…) en uno de sus focos, como establece la primera ley de Kepler (véase «Tema 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y dinámica del campo»). Por eso la distancia al centro de atracción cambia a lo largo de la trayectoria, y con ella cambian la velocidad, la energía cinética y la energía potencial. Puntos característicos y semieje mayor Perihelio: punto de máxima aproximación, a distancia . Si el cuerpo central es la Tierra se llama perigeo. Afelio: punto más alejado, a distancia . Alrededor de la Tierra se llama apogeo.

Ambos puntos están en los extremos del eje mayor. La longitud de ese eje es , así que el semieje mayor vale: El semieje mayor ocupa en la elipse el lugar que tiene el radio en la circunferencia. Por eso la tercera ley de Kepler para una elipse se escribe con : Así, dos órbitas con el mismo semieje mayor tienen el mismo periodo, aunque su forma sea distinta. Energía mecánica de la órbita elíptica La gravedad es una fuerza conservativa, de modo que la energía mecánica orbital (véase «Tema 1: Campo gravitatorio — Energía orbital y velocidad de escape») se mantiene constante en todos los puntos de la trayectoria.

Su valor tiene la misma forma que en la órbita circular, cambiando el radio por el semieje mayor: La energía total solo depende de . A lo largo de la órbita lo que cambia es su reparto: Cerca del perihelio la energía potencial es más negativa y la cinética, mayor: el cuerpo va más rápido. Cerca del afelio ocurre lo contrario: el cuerpo va más lento. V = G M /r i i W = m(V A V ) B E p r p r a r + p r a a = 2 r + r p a a T = 2 a GM 4π2 3 E = 2a GMm a Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 19 Velocidades en el perihelio y en el afelio Para calcular estas dos velocidades se combinan dos leyes de conservación.

La primera es la del momento angular (véase «Tema 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y dinámica del campo»). En el perihelio y en el afelio la velocidad es perpendicular al radio vector, así que el módulo del momento angular se reduce a , y se cumple: La segunda es la conservación de la energía entre esos dos puntos: Se procede así: El resultado general es: Punto Velocidad Observación Perihelio Velocidad máxima de la órbita Afelio Velocidad mínima de la órbita ERROR FRECUENTE La igualdad solo vale en el perihelio y en el afelio, porque solo allí la velocidad es perpendicular al radio. En cualquier otro punto hay que incluir el ángulo: .

Trabajo del campo entre perihelio y afelio El trabajo de una fuerza conservativa es igual a menos la variación de energía potencial. Como la energía mecánica se conserva, también coincide con la variación de energía cinética: Del perihelio al afelio el trabajo es negativo: el campo frena al cuerpo cuando se aleja. En el trayecto de vuelta, del afelio al perihelio, el trabajo es el mismo pero positivo. Cambio de órbita mediante un impulso Un satélite cambia de órbita encendiendo sus motores durante un tiempo muy corto, lo que se llama un impulso. Durante el encendido apenas se desplaza, así que su energía potencial no cambia: toda la energía aportada se convierte en energía cinética.

Caso típico: pasar de una órbita elíptica a una circular de radio , encendiendo los motores en el apogeo. En el apogeo el satélite lleva la velocidad , que es menor que la velocidad orbital circular a esa distancia, (véase «Tema 1: Campo gravitatorio — Energía orbital y velocidad de escape»). Para quedarse en la órbita circular debe acelerar en la dirección del movimiento hasta alcanzar . La energía que hay que aportar se puede calcular de dos formas equivalentes: L = mrv r v = p p r v a a v 2 1 p 2 = r p GM v 2 1 a 2 r a GM Se despeja de la ecuación del momento angular. 1 v = a v r /r p p a Se sustituye esa expresión en la ecuación de la energía, que pasa a tener una sola incógnita.

2 Se despeja y, con el primer paso, se obtiene . 3 v p v a v = p r (r + r ) p p a 2GM r a v = a r (r + r ) a p a 2GM r p r v = p p r v a a L = mrv sinθ W = p a ΔE = p ΔE = c GMm = ( r a 1 r p 1 ) m v v 2 1 ( a 2 p 2 ) r a v a v = c GM/r a v c GM GM 1 Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 20 El resultado es positivo porque : agrandar la órbita siempre exige aportar energía. El proceso contrario, frenar en ese mismo punto, hace pasar de una órbita circular de radio a una elíptica de menor energía cuyo apogeo está en . Qué órbita describe un cuerpo según su velocidad Supongamos un cuerpo a distancia del centro, con velocidad perpendicular al radio.

Basta compararla con la velocidad orbital circular y con la de escape . Lo que decide la órbita es el signo de la energía mecánica: : órbita elíptica, y ese punto es el afelio (o apogeo), porque el cuerpo no tiene velocidad suficiente para mantenerse a esa distancia y cae hacia dentro. : órbita circular. : órbita elíptica, y ese punto es el perihelio (o perigeo). : , órbita parabólica; el cuerpo escapa con velocidad final nula. : , órbita hiperbólica; el cuerpo escapa y conserva algo de velocidad a gran distancia. ESQUEMA Tipo de órbita según la velocidad PARA RECORDARLO E < 0 ligada, E = 0 parábola, E > 0 hipérbola.

Dentro de las órbitas ligadas, quien va más lento que está en el punto más lejano, y quien va más rápido, en el más cercano. IDEAS CLAVE El semieje mayor sustituye al radio en la tercera ley de Kepler y en la energía orbital. La energía mecánica de una órbita elíptica es constante e igual a ; solo cambia su reparto entre energía cinética y potencial. Las velocidades en el perihelio y en el afelio se obtienen combinando la conservación de la energía con . Entre el perihelio y el afelio el campo realiza un trabajo , que es negativo cuando el cuerpo se aleja. Para circularizar una órbita en el apogeo se aumenta la velocidad de a , aportando .

El tipo de órbita depende de la velocidad comparada con y , es decir, del signo de la energía mecánica.

ΔE = + 2r a GMm = 2a GMm m v v > 2 1 ( c 2 a 2 ) 0 a < r a r a r a r v v = c GM/r v = e = 2GM/r v 2 c v < v c v = v c v < c v < v e v = v e E = 0 v > v e E > 0 Órbita ligada (E < 0) v menor que la velocidad de escape Elíptica, punto en afelio v < v_c Circular v = v_c Elíptica, punto en perihelio v_c < v < v_e Órbita abierta (E 0) v mayor o igual que la de escape Parabólica v = v_e, E = 0 Hiperbólica v > v_e, E > 0 v c a = (r + p r )/2 a GMm/(2a) r v = p p r v a a W = ΔE = p ΔE c v a v c ΔE = m(v 2 1 c 2 v ) a 2 v c v e Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 21 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 9. ¿Por qué solo en el perihelio y en el afelio se puede escribir ? 10.

Un satélite está en el apogeo de una órbita elíptica. ¿Qué hay que hacer para que pase a una órbita circular de ese radio, y por qué la energía potencial no cambia? 11. ¿Qué signo tiene el trabajo del campo gravitatorio al ir del afelio al perihelio? TEMA 4: ÓPTICA 5 El prisma óptico como sistema de dos superficies planas Origen y expansión del universo Según el modelo del Big Bang, el universo surgió hace unos 13.800 millones de años a partir de un estado extremadamente denso y caliente. Desde entonces se expande y se enfría.

Este modelo no describe una explosión en un punto del espacio: lo que crece es el propio espacio, y las galaxias se separan unas de otras porque el espacio entre ellas aumenta. Tres observaciones lo apoyan: Corrimiento al rojo: la luz de una galaxia que se aleja llega con longitudes de onda más largas que las emitidas. Se mide con . Para velocidades pequeñas frente a la de la luz se cumple . Ley de Hubble (1929): las galaxias se alejan con una velocidad proporcional a su distancia, . La constante de Hubble vale aproximadamente . Su inverso, , da un orden de magnitud de la edad del universo. Radiación de fondo de microondas: es el eco térmico del universo primitivo.

Fue detectada en 1965 por Penzias y Wilson. Llega casi igual desde todas las direcciones y corresponde a un cuerpo negro a unos 2,7 K. CRONOLOGÍA Pruebas clave de la cosmología Composición del universo Componente Proporción aproximada Cómo se detecta Materia ordinaria (bariónica) 5 % Emite o absorbe luz: estrellas, gas, planetas Materia oscura 27 % Solo por su efecto gravitatorio Energía oscura 68 % Expansión acelerada del universo (observada en supernovas lejanas en 1998) La prueba clásica de la materia oscura son las curvas de rotación galácticas.

Para una estrella en órbita circular alrededor del centro de su galaxia, la gravedad hace de fuerza centrípeta (véase «Tema 1: Campo gravitatorio — Energía orbital y velocidad de escape»): L = mrv z = λ 0 λ λ obs 0 z v/c v = H d 0 H 0 70 km/s/Mpc 1/H 0 1929 Hubble: las galaxias se alejan con velocidad proporcional a su distancia 1965 Penzias y Wilson detectan la radiación de fondo de microondas 1998 Las supernovas lejanas revelan la expansión acelerada Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 22 Aquí es la masa encerrada dentro del radio de la órbita. Fuera de la zona luminosa, la masa visible apenas crece, así que la velocidad debería disminuir como .

Sin embargo, se observa que la velocidad se mantiene casi constante hasta muy lejos del centro. Eso exige que siga creciendo con , es decir, que exista un halo de materia que no vemos. ERROR FRECUENTE Materia oscura y energía oscura no son lo mismo. La materia oscura atrae gravitatoriamente y mantiene unidas las galaxias. La energía oscura, en cambio, es la responsable de que la expansión se acelere. Movimiento de estrellas y galaxias Las estrellas de una galaxia orbitan en torno a su centro de masas. El Sol, por ejemplo, gira alrededor del centro de la Vía Láctea a unos 230 km/s y tarda del orden de 230 millones de años en completar una vuelta.

En el centro galáctico hay un agujero negro supermasivo, Sagitario A*, de unos 4 millones de masas solares. Su masa se dedujo aplicando la tercera ley de Kepler a las órbitas de estrellas cercanas (véase «Tema 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y dinámica del campo»). A mayor escala, las galaxias forman cúmulos ligados por la gravedad. Evolución estelar: la gravedad como motor La vida de una estrella es una competición entre la gravedad, que tiende a comprimirla, y la presión interna, que la sostiene. Estrellas como el Sol: expulsan sus capas externas, que forman una nebulosa planetaria. El núcleo queda como enana blanca, sostenida por la presión de los electrones.

Su masa no puede superar unas 1,4 masas solares (límite de Chandrasekhar). Estrellas muy masivas: estallan como supernova. El núcleo colapsa y da lugar a una de estas dos situaciones: una estrella de neutrones, muy densa y sostenida por la presión de los neutrones; si el resto es aún más masivo, un agujero negro: región de la que ni la luz escapa, porque su velocidad de escape supera . v = r G M(r) M(r) v 1/ r M(r) r Nebulosa: una nube de gas (sobre todo hidrógeno) y polvo colapsa por su propia gravedad. Al contraerse, se calienta. 1 Estrella: cuando el núcleo alcanza millones de grados, comienza la fusión de hidrógeno en helio.

La presión de la radiación equilibra la gravedad durante la mayor parte de su vida. 2 Final: al agotarse el combustible, la estrella se expande (gigante o supergigante roja) y su destino depende de la masa. 3 c Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 23 ESQUEMA Evolución de una estrella Repercusión de la investigación espacial Ámbito Aplicaciones Satélites de comunicaciones Televisión, telefonía e internet, a menudo desde órbitas geoestacionarias Navegación (GPS, Galileo) Localización por la diferencia de tiempos de llegada de las señales.

Los relojes de los satélites necesitan correcciones relativistas (unos 38 μs al día); sin ellas, el error de posición crecería kilómetros cada día Observación terrestre Meteorología, seguimiento del clima y del deshielo, gestión de catástrofes, agricultura (por ejemplo, el programa europeo Copernicus) Transferencia tecnológica (spin-offs) Sensores de imagen CMOS de las cámaras, espuma viscoelástica, sistemas de purificación de agua, materiales aislantes En lo económico, la investigación espacial genera industria de alta tecnología y empleo cualificado. En lo social, impulsa la cooperación internacional, como la de la Estación Espacial Internacional.

Como contrapartida, plantea problemas como la acumulación de basura espacial en órbita. IDEAS CLAVE El universo se expande desde un estado inicial denso y caliente (Big Bang); lo prueban el corrimiento al rojo, la ley de Hubble y la radiación de fondo de microondas. La ley de Hubble, , indica que las galaxias más lejanas se alejan más deprisa. Solo un 5 % del universo es materia ordinaria; el resto es materia oscura ( 27 %) y energía oscura ( 68 %). Las curvas de rotación planas de las galaxias revelan materia oscura, porque debería disminuir con la distancia. La gravedad forma las estrellas y decide su final: enana blanca, estrella de neutrones o agujero negro, según la masa.

La investigación espacial aporta comunicaciones, GPS, observación terrestre y numerosas tecnologías de uso cotidiano. Estrella como el Sol Pasa por gigante roja Nebulosa planetaria Expulsa sus capas externas Enana blanca Hasta unas 1,4 masas solares Estrella muy masiva Pasa por supergigante roja Supernova Estalla y el núcleo colapsa Estrella de neutrones Sostenida por presión de neutrones Agujero negro Ni la luz escapa v = H d 0 v = GM(r)/r Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 24 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Qué esperaríamos para la velocidad orbital de estrellas lejanas si solo existiera la masa visible, y qué se observa? 13.

¿Qué representa la radiación de fondo de microondas? 14. ¿Por qué los relojes de los satélites GPS necesitan correcciones relativistas? Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 25 6 Campo eléctrico y ley de Gauss Interacción electrostática y ley de Coulomb La electrostática analiza los efectos mutuos que ejercen los cuerpos en reposo en virtud de su carga eléctrica. Experimentalmente se comprueba que cargas del mismo signo experimentan repulsión, mientras que cargas de signo opuesto experimentan atracción mutua. En el siglo XVIII, Charles-Augustin de Coulomb formuló la ley cuantitativa que rige esta interacción mutua entre dos cargas puntuales en reposo.

Establece que el módulo de la fuerza entre dos cargas es directamente proporcional al producto de sus valores absolutos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que media entre ellas: donde es un vector unitario dirigido en la recta que une ambas cargas, desde la carga que origina la acción hacia la que experimenta la fuerza, y es la constante electrostática del medio. En el vacío (y con excelente aproximación en el aire), el valor de esta constante es: La magnitud representa la permitividad eléctrica del vacío ( ). A diferencia de la constante de gravitación universal, depende estrictamente de las propiedades dieléctricas del entorno material en el que se ubiquen las cargas.

PARA RECORDARLO Si las cargas poseen el mismo signo algebraico ( ), el vector apunta en el mismo sentido que (fuerza repulsiva). Si tienen signos opuestos ( ), el vector apunta en sentido contrario a (fuerza atractiva). Vector intensidad de campo eléctrico Para sortear la concepción de una acción a distancia instantánea, se introduce el concepto de campo. Toda carga fuente perturba las propiedades del espacio que la rodea.

La intensidad de campo eléctrico en un punto define la fuerza que experimentaría la unidad de carga testigo positiva colocada en dicha posición: TEMA 2 Campo electromagnético 6 Campo eléctrico y ley de Gauss 7 Conductores en equilibrio, corteza esférica, jaula de Faraday y cargas en campo uniforme 8 Líneas de campo y superficies equipotenciales (gravitatorio y eléctrico) 9 Campo magnético y fuerzas de Lorentz 10 Campo de una espira y de un toroide, líneas de campo y momento de fuerzas sobre una espira 11 Inducción electromagnética y ley de Faraday 12 Generadores, motores y transformadores = F k r2 q q 1 2 ur ur k k = = 4πε 0 1 9 10 N 9 m /C 2 2 ε 0 ε 0 8,85 10 C /(N 12 2 m ) 2 k q q > 1 2 0 F ur q q < 1 2 0 F ur E = E = q F k r2 q ur Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 26 La unidad de campo eléctrico en el Sistema Internacional es el newton por culombio (N/C), equivalente al voltio por metro (V/m).

Cuando coexisten varias cargas creadoras del campo, se aplica el principio de superposición: el vector campo eléctrico total en un punto es la suma vectorial de los campos generados individualmente por cada una de las cargas: Líneas de campo eléctrico Las líneas de fuerza o líneas de campo son curvas imaginarias tangentes en cada punto al vector , cuyo sentido coincide con el del propio vector. Cumplen las siguientes propiedades estructurales: Parten de las cargas positivas y terminan en las cargas negativas; por ello, las cargas positivas actúan como fuentes y las negativas como sumideros.

La densidad espacial de líneas por unidad de superficie perpendicular es directamente proporcional a la intensidad del campo en esa región. Nunca pueden cortarse entre sí, ya que en un único punto del espacio el vector campo eléctrico posee una dirección unívoca. Esquema de líneas de campo radiales para cargas puntuales positiva y negativa. Energía potencial y potencial electrostático La fuerza electrostática coulombiana es una fuerza central y, en consecuencia, constituye una fuerza conservativa. Esto implica que el trabajo efectuado por el campo para trasladar una carga entre dos posiciones no depende de la trayectoria descrita, sino exclusivamente de los puntos inicial y final.

Energía potencial electrostática Tomando como convenio el origen de energía potencial en el infinito ( ), la energía potencial electrostática mutua asociada a un par de cargas puntuales y separadas una distancia viene dada por: Nótese que aquí las cargas se introducen con su respectivo signo algebraico. Si las cargas presentan signos iguales, la energía potencial es positiva (sistema que requiere aporte externo para comprimirse); si presentan signos opuestos, la energía potencial es negativa (estado ligado y espontáneamente estable).

Potencial eléctrico El potencial eléctrico en un punto del espacio es la energía potencial que adquiere la unidad de carga positiva testigo situada en ese lugar: Su unidad en el Sistema Internacional es el voltio ( ).

Para un conjunto discreto de cargas, el potencial resultante es la suma escalar directa de los potenciales individuales (no vectorial): = Etotal = i=1 n Ei k i=1 n r i 2 q i ur,i E E ( ) = p 0 q 1 q 2 r E = p k r q q 1 2 V V = = q E p k r q 1 V = 1 J/C Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 27 Trabajo y diferencia de potencial Por definición de campo conservativo, el trabajo realizado por las fuerzas del propio campo eléctrico al trasladar una carga desde una posición hasta otra equivale a la disminución de su energía potencial: De esta relación se deducen comportamientos dinámicos fundamentales: Bajo la acción exclusiva del campo electrostático, las cargas positivas tienden a desplazarse espontáneamente hacia puntos de menor potencial ( ).

Las cargas negativas se desplazan de manera natural hacia regiones de mayor potencial eléctrico ( ). ERROR FRECUENTE Confundir el trabajo realizado por el campo eléctrico ( ) con el trabajo que debe ejercer un agente exterior a velocidad constante ( ). Si el enunciado no especifica agente externo, se calcula siempre el trabajo desarrollado por las fuerzas electrostáticas del campo. ESQUEMA Magnitudes fundamentales de la electrostática Flujo eléctrico y teorema de Gauss Definición de flujo del campo eléctrico El flujo eléctrico cuantifica el número de líneas de campo que atraviesan una superficie determinada orientada en el espacio.

Para una superficie general , se define mediante la integral de superficie: donde es el vector elemento de superficie, perpendicular a la misma y dirigido hacia el exterior en el caso de superficies cerradas. Su unidad en el Sistema Internacional es el (o ).

Enunciado del teorema de Gauss El teorema de Gauss relaciona el flujo neto que atraviesa cualquier superficie cerrada imaginaria (denominada superficie gaussiana) con la carga neta encerrada en su interior: V = total k i=1 n r i q i W A B q A B W = A B ΔE = p (E p,B E ) = p,A q (V B V ) = A q ΔV V < B V A W > A B 0 V > B V A W > A B 0 W = campo q ΔV W = ext +q ΔV = Wcampo Magnitudes vectoriales Poseen módulo, dirección y sentido Fuerza eléctrica Ley de Coulomb entre dos cargas Campo eléctrico Fuerza por unidad de carga testigo Magnitudes escalares Caracterizadas solo por un valor numérico Energía potencial Energía de interacción del sistema Potencial eléctrico Energía potencial por unidad de carga Φ S Φ = S E dS d = S dS n N m /C 2 V m Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 28 TEOREMA DE GAUSS El flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada cualquiera es directamente proporcional a la carga eléctrica neta contenida en su interior dividida por la permitividad del medio: Aplicaciones fundamentales del teorema de Gauss 1.

Distribución esférica de carga (o conductor esférico en equilibrio) Consideremos una carga neta distribuida con simetría esférica. Para calcular el campo a una distancia radial del centro exterior, seleccionamos como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio . Por simetría radial, es perpendicular en todo punto a la superficie y su módulo es constante sobre ella: Este resultado demuestra que una esfera cargada se comporta en puntos exteriores exactamente igual que si toda su carga estuviese concentrada en su centro geométrico. 2.

Plano o lámina infinita uniformemente cargada Para una lámina plana infinita con densidad superficial de carga , las líneas de campo son perpendiculares al plano en ambos lados. Tomando como superficie gaussiana un cilindro recto cerrado cuyas bases paralelas de área queden a ambos lados de la lámina, el flujo lateral es nulo y solo contribuyen las dos bases planas: El campo generado por un plano indefinido es uniforme e independiente de la distancia a la que se encuentre el punto de observación.

Comparación entre campo gravitatorio y campo electrostático Tanto el campo gravitatorio (estudiado con detalle en el «Tema 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y dinámica del campo») como el campo electrostático son interacciones a distancia centrales que decaen con el inverso del cuadrado de la distancia.

No obstante, presentan diferencias esenciales: Criterio Campo Gravitatorio Campo Electrostático Fuente de campo Masa ( ), siempre positiva Carga eléctrica ( ), positiva o negativa Naturaleza de las fuerzas Exclusivamente atractiva Atractiva (signos opuestos) o repulsiva (signos iguales) Constante fundamental Universal: Dependiente del medio: Intensidad relativa Muy débil (relevante a escala astronómica) Extremadamente intensa (domina a escala atómica y molecular) Carácter del campo Conservativo y central Conservativo y central Líneas de fuerza Solo sumideros (apuntan siempre a la masa) Fuentes (cargas positivas) y sumideros (cargas negativas) Signo del potencial ( ) Siempre negativo ( ) Positivo o negativo según el signo de la carga fuente ( ) Q int Φ = S E d = S ε 0 Q int Q r r E S E d = S E dS = S E(4πr ) = 2 ε 0 Q E = = 4πε 0 1 r2 Q k r2 Q σ = Q/S S Φ = 2ES = = ε 0 Q int ε 0 σS E = 2ε 0 σ m q G 6,67 10 N 11 m /kg 2 2 k = 1/(4πε) V ( ) = 0 V = GM /r V = kq/r Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests 29 EJEMPLO Enunciado: En el plano se disponen dos cargas puntuales fijas en el vacío: en la posición y en la posición .

Dato: . xy q = 1 +4 μC = 4 10 C 6 A(0, 0) m q = 2 2 μC = 2 10 C 6 B(3, 0) m k = 9 10 N 9 m /C 2 2 Fuerza ejercida por sobre : La distancia entre ambas es . El vector unitario desde hacia es . Se trata de una fuerza atractiva dirigida hacia el origen. 1 q 1 q 2 r = 3 m A B i = F12 k = r2 q q 1 2 i (9 10 ) = 9 32 (4 10 )( 2 10 ) 6 6 i 8 10 N 3 i Vector campo eléctrico total en el punto : Calculamos el campo producido por cada carga en : - Para en : la distancia a es en dirección . - Para en : el vector de posición relativo es , con módulo . El vector unitario hacia es .

Como es negativa, el campo apunta hacia (sentido contrario): Sumando ambos campos vectorialmente: 2 P (0, 4) m P q 1 (0,0) P r = 1 4 m + j = E1 (9 10 ) = 9 42 4 10 6 j 2250 N/C j q 2 (3,0) = r2 rP = rB (0 3) + i (4 0) = j 3 + i 4 j = r2 = ( 3) + 4 2 2 5 m P = ur2 0,6 + i 0,8 j q 2 q 2 = E2 k…