Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja 2023 · Extraordinaria

Para que no se desanimen los equipos de menos nivel, los organizadores de un torneo escolar de fútbol adjudican en cada partido un número positivo de puntos a los dos equipos. Lo hacen de forma que:

5 empates equivalen a 2 victorias más 2 derrotas;

1 victoria equivale a 3 derrotas más 1 punto;

1 derrota más 5 puntos equivalen a 1 victoria más 1 empate.

1.1.– Para que no se desanimen los equipos de menos nivel, los organizadores de un torneo escolar de fútbol adjudican en cada partido un número positivo de puntos a los dos equipos. Lo hacen de forma que:

5 empates equivalen a 2 victorias más 2 derrotas;

1 victoria equivale a 3 derrotas más 1 punto;

1 derrota más 5 puntos equivalen a 1 victoria más 1 empate.

¿Cuántos puntos se adjudican por victoria, empate y derrota? [2.5 puntos]

Para que no se desanimen los equipos de menos nivel, los organizadores de un torneo escolar de fútbol adjudican en cada partido un número positivo de puntos a los dos equipos. Lo hacen de forma que:

5 empates equivalen a 2 victorias más 2 derrotas;

1 victoria equivale a 3 derrotas más 1 punto;

1 derrota más 5 puntos equivalen a 1 victoria más 1 empate.

1.2.- Una de las dos matrices siguientes tiene matriz inversa. Calcúlala:

$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

$

[2 puntos]

¿Cuál es la inversa de dicha matriz inversa? ¿Por qué sabes que la otra matriz no tiene inversa?

[0.5 puntos]

a)

b)

c)

d)

Para que no se desanimen los equipos de menos nivel, los organizadores de un torneo escolar de fútbol adjudican en cada partido un número positivo de puntos a los dos equipos. Lo hacen de forma que:

5 empates equivalen a 2 victorias más 2 derrotas;

1 victoria equivale a 3 derrotas más 1 punto;

1 derrota más 5 puntos equivalen a 1 victoria más 1 empate.

1.3.- Dibuja la región del plano formada por los puntos $(x, y)$ tales que

$$\begin{cases} 0 \le y,\ 0 \le x, \\ x + y \le 4, \\ x + 2y \le 6, \text{ y} \\ x \le 3. \end{cases}$$

[1 punto]

Estudia respectivamente en qué puntos de dicha región toman su valor máximo las siguientes funciones:

[1.5 puntos]

i)

$($

$,$

$)$

ii)

$($

$,$

$)$

iii)

$($

$,$

$)$

Sabiendo que $r$ es una función continua, dibuja su gráfica y averigua los valores de $a, b, c$ y $d$.

2.2.- En la figura, $x$ es un valor tal que $6 \le x \le 19$, y algunos segmentos miden lo que se indica.

Justifica debidamente que el área $A(x)$ del polígono dibujado (sin contar el triángulo inferior) viene dada por

$$A(x) = 18 + 22x - x^2.$$

¿Para qué valor de $x$ dicha área es máxima? ¿Para cuál es mínima?

$x =$

$x =$

Dibuja la figura cuando $x$ es el valor de área mínima.

2.3.- La recta $y = 5 - 2x$ delimita un triángulo rectángulo con los ejes de coordenadas. Calcula sus vértices. [0.5 puntos]

Origen: $O(0, 0)$

Corte con eje $X$: $(\,$

$, 0\,)$

Corte con eje $Y$: $(\,0,$

$\!\,)$

La parábola $y = x^2 + 2x$ divide al triángulo anterior en dos regiones. Dibújalas señalando los puntos de corte, y halla el área de ambas. [2 puntos]

$x =$

$,\quad y =$

Dibuja las dos regiones señalando los puntos de corte:

Bloque 3. Estadística y Probabilidad

3.1.- Basándose en encuestas, se considera, para la gente de La Rioja, que los sucesos:

$A =$ «le gusta pasar sus vacaciones en la playa»;

$B =$ «le gusta pasar sus vacaciones en la montaña»; y

$C =$ «no le gustan ni la playa ni la montaña para sus vacaciones»

tienen probabilidades

$P(A) = 0{,}75$,   $P(B) = 0{,}5$,   y   $P(C) = 0{,}1$.

Se entiende que «le gusta» y «no le gusta» son en cada caso complementarios: cualquier persona respondería o bien «sí» o bien «no» a las preguntas de si le gustan playa o montaña.

(i)

¿Cuánto valen $P(A \cup B)$ y $P(A \cap B)$?

(ii)

¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes?

(iii)

¿Cuál es la probabilidad de que a una persona le guste la montaña si sabemos que para ella no sucede $C$?

3.2.- Una variable aleatoria $X$ tiene distribución normal de media $10$ y desviación típica $4$. Tomaremos una muestra de cierto número $n$ de valores independientes de $X$, y llamaremos $\overline{X}$ a su valor promedio. El valor $n$ cumple que$$P(X < 15) = P(\overline{X} < 11).$$

(i)

¿Cuánto vale dicha probabilidad? [1 punto]

(ii)

¿Qué número es $n$? [1.25 puntos]

(iii)

¿Hay algún valor $a$ para el que $P(\overline{X} < a)$ no dependa de $n$? [0.25 puntos]

Nuestra casa está en la ladera de un monte, justo donde comienza el bosque de pinos. Un día medimos el pino que tenemos más cerca, y resultó tener una altura de 17.26 metros. Le preguntamos a nuestro amigo guardabosque si es un valor representativo, y nos dijo:

«Qué casualidad, hemos calculado un intervalo al 90% de confianza para la media de la altura, y el extremo superior es 17.26 m. Hemos supuesto que la altura tiene distribución normal y que la desviación típica es 6.93, la habitual en estas repoblaciones, y hemos medido 100 árboles para calcularlo».

¿Cuál fue el promedio de la altura de los pinos de la muestra, y qué intervalo de confianza se obtuvo por tanto?

a)

b)

c)