Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja 2026 · Extraordinaria

EJERCICIO 1 (3 PUNTOS)

1. Resuelve los apartados a) y b):

a) (1 PUNTO) Según los resultados obtenidos en una investigación relativa al ocio digital juvenil, se observa que el 80% de los alumnos de cierta universidad está suscrito a una plataforma musical, el 60% lo está a una de video y, además, el 90% tiene al menos una de las dos suscripciones. Se elige un alumno al azar, se pide:

a.1.

Calcula la probabilidad de que esté suscrito a ambos tipos de plataformas.

a.2.

Si está suscrito a una plataforma de video, calcula la probabilidad de que no lo esté a una de música.

EJERCICIO 1 (3 PUNTOS)

1. Resuelve los apartados a) y b):

b) (2 PUNTOS) El peso de cierto tipo de quesos producidos en una quesería sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $60$ gramos.

b.1.

Se toma una muestra aleatoria de $36$ quesos obteniéndose una media muestral de $980$ gramos. Calcula un intervalo de confianza al $97\%$ para estimar $\mu$.

b.2.

Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de $10$ gramos.

EJERCICIO 2

En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para fabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:

a)

[0,5 PUNTOS] Plantea el problema de programación lineal para maximizar los ingresos de la sastrería (función objetivo y restricciones considerando $x$ prendas de tipo A e $y$ prendas de tipo B):

b)

[0,5 PUNTOS] Representa la región factible S.

c)

[0,5 PUNTOS] Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S.

d)

[0,5 PUNTOS] Calcula el número de prendas de cada tipo a confeccionar para que los ingresos sean máximos. Indica el valor de estos ingresos.

€

EJERCICIO 3 (2 PUNTOS)

Elige una, y sólo una, de las dos opciones siguientes (3.1 o 3.2):

(Opción 1)

3.1. Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}$, $a$: número real. Se pide:

a)

[1 PUNTO] Calcula el valor de "$a$" para que se cumpla: $M^2 = I$. Para ese valor de "$a$", calcula la matriz inversa de $M$ y halla $M^{21}$.

$a =$

b)

[1 PUNTO] Para $a = 1$: calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $M \cdot X + M^T = 2\,I$.

(donde $I$ representa la matriz identidad de orden 2 y $M^T$ la matriz traspuesta de $M$)

$X = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

3.2. Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$, se pide:

a)

(0,75 PUNTOS) Calcula $A^2$ y calcula el determinante de la matriz inversa de $A$.

b)

(1,25 PUNTOS) Calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $X \cdot A = B^T + I$.

($B^T$: matriz traspuesta de $B$, $I$: matriz identidad orden 3)

Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función:

$$C(x) = \frac{a x}{x^2 + 4}, \quad x > 0, \quad (a\text{: número real})$$

siendo «$x$» el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración.

a)

[0,75 PUNTOS] Calcula el valor de "a" sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de 0,20 mg/l. Calcula $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ e interpreta el resultado sabiendo lo que representan x y C(x).

b)

[1,25 PUNTOS] Para $a = 1$: Calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo.

Máximo relativo

Mínimo relativo

No posee

Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función:

$$C(x) = \frac{a x}{x^2 + 4}, \quad x > 0, \quad (a\text{: número real})$$

siendo «$x$» el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración.

c)

[1 PUNTO] Calcula el valor de "a" para que se verifique la igualdad:$$\int_1^2 (x^2 + 4) C(x)\,dx = 6.$$

(Opción 2)

Dada la función $$f(x) = \frac{a x^2 + b}{x^3}$$ ($a$, $b$: números reales), se pide:

a)

[1 PUNTO] Calcula los valores de "$a$" y "$b$" sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $P=(1, 3)$ y que la recta tangente a esta curva en $P$ es paralela a la recta de ecuación $y = -5x + 2$.

b)

[1 PUNTO] Para $b = 4$, calcula el valor de "$a$" para que la función posea un extremo relativo en $x=2$. Para este valor de "$a$", indica si en $x=2$ la función alcanza un máximo o un mínimo relativo.

Máximo relativo

Mínimo relativo

(Opción 2)

Dada la función $$f(x) = \frac{a x^2 + b}{x^3}$$ ($a$, $b$: números reales), se pide:

c)

[1 PUNTO] Para $a= 2$, calcula el valor de "$b$" para que se verifique la igualdad:

$$\int_{1}^{3} x^4 f(x) \, dx = 12$$