Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja 2024 · Extraordinaria

$$\begin{cases} 3x - y - 2z = 5 \\ x + y + 3z = 4 \\ 2x - 3y + z = 8 \end{cases}$$

1.1.-

Resuelve el sistema lineal

$\begin{cases}

3x - y - 2z = 5 \\

x + y + 3z = 4 \\

2x - 3y + z = 8

\end{cases}$

[1.75 puntos]

$x =$

$y =$

$z =$

¿Por qué valor habría que sustituir el coeficiente 3 de la primera ecuación para que resultara un sistema sin soluciones?

[0.75 puntos]

Coeficiente =

$$\begin{cases} 3x - y - 2z = 5 \\ x + y + 3z = 4 \\ 2x - 3y + z = 8 \end{cases}$$

1.2.- Halla una matriz $A$ que cumpla la igualdad [2.5 puntos]

$$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Introduce los elementos de una matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ que verifique la ecuación:

$A =$

$$\begin{cases} 3x - y - 2z = 5 \\ x + y + 3z = 4 \\ 2x - 3y + z = 8 \end{cases}$$

1.3.– Un pastelero elabora dos clases de pasteles, con masa y chocolate que ya tiene preparados en cuencos. Las llamaremos $A$ y $B$. Puede elaborar un máximo de 30 unidades de la clase $B$.

Cada unidad de la clase $A$ requiere 2 cuencos de masa y 2 de chocolate, y la vende por 5 euros. Las de $B$ contienen 1 cuenco de masa y 2 de chocolate, y su precio es de 4 euros. Dispone de 60 cuencos de masa y 80 de chocolate para elaborar todos los pasteles.

Dando por supuesto que venderá todos los pasteles, ¿cuántos tiene que hacer de cada clase para maximizar su beneficio? [2.5 puntos]

Bloque 2. Análisis.

2.1.– Definimos la función

$$f(x) = \frac{2}{x(x - 2)}$$

para los valores reales $x$ en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es su dominio?

[0.25 puntos]

¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica $y = f(x)$? Indica los límites de $f$ relevantes en cada una.

[0.75 puntos]

Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas y también los extremos relativos de $f$, que debes calcular previamente.

[1.5 puntos]

seek

Bloque 2. Análisis.

2.2.— Consideramos la parábola

$$y = 5x - x^2 - 4.$$

La recta $y = ax$ corta a la parábola en un punto $(x_0, y_0)$, e $y_0$ es el máximo valor posible. ¿Cuánto valen $a$, $x_0$ e $y_0$?

[2.5 puntos]

Bloque 2. Análisis.

2.3.– En la figura se representa la gráfica $y = f(x)$, con

$$f(x) = (x^2 - 1)(x - b)$$

para cierto $b$ entre $-1$ y $1$.

¿Qué signo tienen respectivamente las integrales $\int_{-1}^b f(x)\,dx$ y $\int_b^1 f(x)\,dx$? [0.25 puntos]

Sabemos que $\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \frac{1}{3}$. Halla entonces el valor de $b$. [2.25 puntos]

Milena y Santi juegan con un dado. Cada uno lo tira una vez, pero Milena tiene ventaja: si saca un 6 gana ella; en caso contrario, si Santi saca par gana él, y si saca impar gana Milena.

3.1.– Milena y Santi juegan con un dado. Cada uno lo tira una vez, pero Milena tiene ventaja: si saca un 6 gana ella; en caso contrario, si Santi saca par gana él, y si saca impar gana Milena.

(i)

¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno? [1.25 puntos]

(ii)

¿Cuál es la probabilidad del suceso “Santi saca par”? ¿Y la de “gana Milena” condicionada a “Santi saca par”? ¿Cuál es entonces la probabilidad de “Santi saca par” condicionada a “gana Milena”? [1.25 puntos]

Milena y Santi juegan con un dado. Cada uno lo tira una vez, pero Milena tiene ventaja: si saca un 6 gana ella; en caso contrario, si Santi saca par gana él, y si saca impar gana Milena.

3.2.- La estatura de las niñas de 3 años en España sigue una distribución normal de media $95\text{ cm}$. Si nos dicen que una niña que mide $102\text{ cm}$ está en el percentil 97 (es decir, es más alta que el $97\%$ de las niñas de su edad), ¿cuál es la desviación típica de la variable? [1.75 puntos]

Se toma una muestra aleatoria independiente de 25 niñas de tres años. ¿Cuál es la media y la desviación típica de su estatura promedio? [0.75 puntos]

Tabla de la distribución normal estándar

Milena y Santi juegan con un dado. Cada uno lo tira una vez, pero Milena tiene ventaja: si saca un 6 gana ella; en caso contrario, si Santi saca par gana él, y si saca impar gana Milena.

3.3.- En un gran yacimiento arqueológico se estudian 36 cráneos, cuyo perímetro medio servirá para datar aproximadamente la época de ocupación. La media resulta ser igual a $56.2\text{ cm}$.

a)

Si consideramos como desviación típica el valor $1.5\text{ cm}$, ¿qué intervalo de confianza obtenemos para situar la media, con nivel de confianza $0.95$?

[1.25 puntos]

cm

cm

b)

¿Qué desviación típica deberíamos asumir para obtener el mismo intervalo si lo calculamos con el $90\,\%$ de confianza?

[1.25 puntos]