Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja 2025 · Extraordinaria

Una empresa fabrica y vende dos modelos de armarios de oficina A y B. Para fabricar un armario del modelo A se necesitan 3 horas para su construcción y 4 horas de pintura; cada uno del modelo B, necesita para estos procesos 6 y 2 horas respectivamente. La empresa dispone semanalmente de un máximo de 60 horas para la construcción de estos armarios y de un máximo de 32 horas para la pintura. Cada armario modelo A genera un beneficio de 200 euros y cada uno del modelo B, 300 euros. A la empresa le interesa saber cuántos armarios de cada tipo debe fabricar para maximizar su beneficio. Se pide:

a)

(0,5 PUNTOS) Plantea el problema de programación lineal que permita calcular cuántos armarios de cada tipo se deben producir para maximizar el beneficio.

a)

(0,5 PUNTOS) Representa la región factible.

b)

(0,5 PUNTOS) Indica cuáles son las coordenadas de los vértices de dicha región.

c)

(0,5 PUNTOS) Indica cuántos armarios de cada tipo deben fabricarse para maximizar el beneficio. Indica el valor de dicho beneficio máximo.

EJERCICIO 2 (Opción 1)

a)

[1 PUNTO] Calcula el valor de "k" para que la matriz $A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ k & -5 \end{pmatrix}$ verifique la igualdad:

$$A^2 = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$k =$

b)

[1 PUNTO] Comprueba que la matriz $B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$ también verifica que $B^2 = I_2$. Calcula la matriz inversa de $B$. Calcula una matriz $X$ que verifique: $B X = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

$B^{-1} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

$X = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

(Opción 2)

2.2 Dadas las matrices $A = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}$, se pide:

a)

[0,5 PUNTOS] Demuestra que se cumple la igualdad: $A A^T = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calcula los elementos de la matriz producto $A A^T = \dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{pmatrix}$ antes de simplificar por $\dfrac{1}{25}$:

b)

[1,5 PUNTOS] Calcula una matriz $X$ para que se cumpla la igualdad: $X A + B = B A$.

Introduce los elementos de la matriz $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$:

Sea la función $f(x) = x^3 + ax^2 + 36x + 5$ ($a$: número real).

a)

Calcula el valor de «$a$» para que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $(2, f(2))$ tenga por ecuación: $y = 37$. Estudia si la función posee un máximo o un mínimo relativo en $x = 2$.

Máximo relativo

Mínimo relativo

Ni máximo ni mínimo

b)

Calcula el valor de «$a$» para que haya un cambio de concavidad de la función en $x = 5$.

Sea la función $f(x) = x^3 + ax^2 + 36x + 5$ ($a$: número real).

c)

Qué valor debe tomar «$a$» para que se verifique la igualdad:$$\int_{2}^{4} (3x^2 + 2ax + 36)\,dx = 152$$

Sea la función $f(x) = x^3 + ax^2 + 36x + 5$ ($a$: número real).

Ejercicio 3 (Opción 2)

Un empresario ha realizado un estudio para analizar la evolución de su negocio durante 6 meses. Los ingresos, en miles de euros, vienen dados por la función:$$f(t) = t^3 - 3t + 10 \quad \text{con } 0 \le t \le 6$$($t$: meses transcurridos desde el inicio del estudio). Se pide:

a)

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Calcula cuándo los ingresos han sido máximos y cuándo mínimos en el intervalo de tiempo considerado, $[0, 6]$, e indica cuándo se han alcanzado.

b)

Calcula en qué momento los ingresos han sido de 12000 euros.

c)

Representa gráficamente la función en el intervalo $[0, 6]$.

d)

Calcula en qué punto de la gráfica anterior, la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto es igual a 9. Indica la ecuación de dicha recta.

PARTE 3. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

EJERCICIO 4

Elige una, y sólo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2):

a)

[1,25 PUNTOS] ¿Qué porcentaje de motos fabricadas por la planta A son de gasolina?

%

b)

[0,5 PUNTOS] ¿Son independientes los sucesos "moto fabricada en la planta B" y "moto de gasolina"?

Sí

No

c)

[1,25 PUNTOS] Se elige una moto al azar de dicha empresa, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada en la planta B si la moto es eléctrica.

PARTE 3. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

EJERCICIO 4

Elige una, y sólo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2):

(Opción 2)

4.2. Resuelve los apartados A) y B):

A)

(1 PUNTO) De dos sucesos $A$ y $B$ sabemos que $P(A) = \frac{1}{4}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$ y que, además, $A$ y $B$ son independientes. Calcula: $P(B)$, $P(A \cup B)$, $P(A/B)$ y $P(\overline{A}/B)$.

($\overline{A}$ representa el suceso complementario o contrario de $A$)

PARTE 3. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

EJERCICIO 4

Elige una, y sólo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2):

B) La duración, en horas, de un tipo de bombilla sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica igual a 250 horas.

B.1)

(1 PUNTO) Se toma una muestra aleatoria de 100 bombillas y la duración media de estas bombillas ha sido 2000 horas. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la media $\mu$.

horas

horas

B.2)

(1 PUNTO) Calcula el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error sea inferior a 20 horas.

bombillas