Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2024 · Extraordinaria

Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}$, dé respuesta a los dos apartados siguientes:

a)

Calcule los valores de $x$ e $y$ que hacen que $A$ conmute con todas las matrices antisimétricas $X$ de orden 2, es decir, que hacen que se cumpla la igualdad $AX = XA$ para toda matriz antisimétrica $X$ de orden 2.

b)

Si $x = -1$ e $y = 1$, calcule la matriz $M$ que satisface la igualdad $2M = A^{-1} - AM$.

Introduzca los elementos de la matriz $M = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}$:

PREGUNTA 2. Números y Álgebra. (2 puntos)

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema:

$\begin{cases}

2x + y + z = m, \\

x - y + 2z = 2m, \\

mx + 3z = m.

\end{cases}$

$m =$

Dada la función$$f(x) = \begin{cases} x^2 + bx - 1 & \text{si } x \le 0, \\ \dfrac{k - xe^x}{x} & \text{si } x > 0, \end{cases}$$se pide responder a las siguientes cuestiones:

a)

¿Cuál es el valor de $k$ que hace que $f$ sea continua en $x = 0$ para cualquier valor de $b$?

b)

¿Para qué valores de $b$ y $k$ es $f$ derivable en $x = 0$?

Determine el valor del número positivo $a$ que hace que el área de la región encerrada por la recta $y = -2x$ y la parábola $y = ax^2 + 4x$ sea igual a 9 unidades cuadradas.

PREGUNTA 5. Geometría. (2 puntos)

Considérense el plano $\pi: x + 2y - 2z = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A(2,1,2)$ y $B(0,1,1)$. Se pide:

a)

Estudiar la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$.

b)

Obtener la ecuación implícita o general del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

PREGUNTA 6. Geometría. (2 puntos)

Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A(-1,3,-5)$ y $B(1,2,-5)$ y $\pi$ el plano que pasa por el punto $C(5,0,1)$ y es perpendicular a $r$. Se piden las ecuaciones paramétricas de $r$, la ecuación implícita o general de $\pi$ y el punto de corte de $r$ con $\pi$.

a)

$x =$

$y =$

$z =$

b)

c)

PREGUNTA 7. Estadística y Probabilidad. (2 puntos)

En una determinada colonia de cormoranes, cada huevo que se pone tiene un $13\%$ de probabilidades de ser infértil. Si se observa la puesta de 7 huevos, calcule la probabilidad de que entre ellos haya por lo menos 2 infértiles.

PREGUNTA 8. Estadística y Probabilidad. (2 puntos)

La durabilidad de un determinado aparato electrónico sigue una distribución normal de media $20000$ horas y desviación típica $2500$ horas.

a)

Si elegimos al azar uno de estos aparatos, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de $17000$ horas?

b)

¿Cuál es la durabilidad, en horas, excedida por el $98{,}5\%$ de estos aparatos?

horas