Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2026 · Extraordinaria

EJERCICIO 1.A [2,5 puntos]

Dadas las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} k & -1 & 1 \\ 1 & 0 & k \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} k & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

[0,75 puntos] Calcular el valor de $k$ para el cual se verifica que $A^t \cdot B = C$.

b)

[1 punto] Calcular el valor o valores de $k$ para los cuales existe la inversa de $A \cdot C$ y calcular la inversa de $A \cdot C$ para el caso $k=0$.

c)

[0,75 puntos] Calcular el valor de $k$ para el cual se cumple que $B^2 = B - I$ siendo $I$ la matriz identidad de orden 2.

EJERCICIO 1.B

[2,5 puntos]

a) 1,5 puntos. b) 1 punto.

Dado el sistema

$$\begin{cases} kx + 2y - z = 3k \\ 2x + ky - 2z = 6 \\ x - y + z = k \end{cases}$$

a)

Discute dicho sistema según los valores del parámetro $k$.

b)

Resuelve el sistema para el valor $k=3$.

Dada la función $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$.

EJERCICIO 2.A [2,5 puntos]

Dada la función $$f(x) = \frac{e^x}{x - 1}$$

a)

[1,25 puntos] Determina los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$.

Dada la función $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$.

EJERCICIO 2.A [2,5 puntos]

b)

[1,25 puntos] Calcula una primitiva de la función $g(x) = (x^2 - 3x) \cdot e^x$ que pase por el punto $P(0, 1)$.

Dada la función $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$.

a)

Justifica, indicando los teoremas en los que te basas, que la ecuación $x^3-2x^2+2x-2=0$ tiene una única solución real y encuentra dicha solución con un error menor de una décima.

Dada la función $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$.

b)

Dada la función $g(x)=-x^2+2x+2$, determina el área de la región limitada por las gráficas de las funciones $g(x)$ y $g'(x)$.

Dados los puntos $A(4, 3, 3)$, $B(3, 3, 4)$, $C(1, 0, 4)$ y $D(4, 0, 1)$:

a)

Justifica de forma razonada que los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ están en el mismo plano y halla la ecuación del plano que determinan.

b)

Calcula el valor de $k$ para que el punto $P(7, k, 2)$ esté en la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $C$.

Dados los puntos $A(4, 3, 3)$, $B(3, 3, 4)$, $C(1, 0, 4)$ y $D(4, 0, 1)$:

c)

Calcula la distancia del punto $B$ a la recta que pasa por $A$ y $C$.

Dados los puntos $A(4, 3, 3)$, $B(3, 3, 4)$, $C(1, 0, 4)$ y $D(4, 0, 1)$:

Dados los planos $\pi_1: x + ky - 3z - 6 = 0$, $\pi_2: 2x - y - 5 = 0$ y el punto $A(2, 3, -4)$:

a)

Calcula el valor de $k$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares.

b)

Para $k = 2$, calcula el simétrico del punto $A$ respecto del plano $\pi_1$.

$x =$

$y =$

$z =$

c)

Para $k = 2$, calcula la distancia del punto $A$ al plano $\pi_1$.

El pasado mes de diciembre falleció el cantante extremeño Roberto Iniesta (Robe), considerado uno de los grandes iconos de la música española. Robe publicó, entre otros, 12 discos con su grupo Extremoduro y 4 discos en solitario. Nos hemos encontrado con un fan que nos ha dicho que se sabe el 70% de las canciones de Extremoduro y el 80% de las canciones de su etapa en solitario. Si ponemos una canción de uno de los discos de Robe:

a)

¿Qué probabilidad hay de que ese fan se sepa la canción?

b)

Si nos ha dicho que se sabe la canción que está sonando ¿qué probabilidad hay de que la canción sea de la etapa de Extremoduro?

c)

¿Qué probabilidad hay de que la canción sea de su etapa en solitario o no la sepa?