Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2025 · Extraordinaria

EJERCICIO 1A. [2,5 puntos] a) 1,5 puntos, b) 1 punto.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, con $m \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} mx + 7y + 5z = 0 \\ x + my + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}$$

a)

Discutir el sistema en función del parámetro $m$.

b)

Resolverlo para el caso $m = 1$.

EJERCICIO 1B. [2,5 puntos] a) 1,25 puntos, b) 1,25 puntos.

Sean las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$

a)

Obtener la inversa de la matriz $A^T + I$ donde $I$ es la matriz unidad de orden 3.

b)

Resolver la ecuación matricial $A^T X - I = 2B - X$ ($A^T$ es la matriz traspuesta de $A$).

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = x + 3$.

EJERCICIO 2A. [2,5 puntos] a) 1,25 puntos, b) 1,25 puntos.

a)

Dada la función $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x^3}$, calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto $P(1,2)$.

b)

Estudia los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular $a=2$, $b=-2$.

EJERCICIO 2B - a) Primitivas [1,25 puntos]

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = x + 3$.

a)

Calcula la primitiva de $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ que pase por el punto $(5,0)$.

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = x + 3$.

b)

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$. [1,25 puntos]

Dada la recta $s \equiv \frac{x}{-4} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{0}$, el plano $\pi \equiv x - 2y + 3z - 6 = 0$ y el punto $P(1,-1,0)$

EJERCICIO 3A. [2,5 puntos] a) 0,75 puntos, b) 1 punto, c) 0,75 puntos.

Dados los puntos $A=(1,2,3)$, $B=(2,3,4)$, $C=(3,4,3)$

a)

¿Están $A$, $B$ y $C$ alineados?

No

Sí

b)

Halla un vector que sea ortogonal a $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, y de módulo $\sqrt{2}$.

(,,)

c)

Halla el punto simétrico del punto $A$ respecto del punto $B$.

(,,)

Dada la recta $s \equiv \frac{x}{-4} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{0}$, el plano $\pi \equiv x - 2y + 3z - 6 = 0$ y el punto $P(1,-1,0)$

a)

Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta s que pase por P.

Dada la recta $s \equiv \frac{x}{-4} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{0}$, el plano $\pi \equiv x - 2y + 3z - 6 = 0$ y el punto $P(1,-1,0)$

b)

Calcular la distancia del punto P a la recta s.

c)

Calcular el ángulo que forma la recta s con el plano π (en grados o radianes):

a)

Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas.

b)

Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas.

c)

Se sabe que, en la misma población, el 35% ve el programa «El Hormiguero» y se sabe también que el 40% no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea los dos programas?