Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2021 · Extraordinaria

Sea la igualdad matricial $M \cdot X = N$, donde $M = \begin{pmatrix} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

a)

¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz $X$? (Justificar la respuesta). [0,5 puntos]

b)

¿Para qué valores de $k \in \mathbb{R}$ es la matriz $M$ invertible? [1 punto]

c)

¿Puede ser $M \cdot N$ invertible para algún valor de $k \in \mathbb{R}$? [0,5 puntos]

2. Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$$\left\{\begin{array}{rcl} ax + y & = & 1 \\ x + ay & = & a \\ ax + 2y & = & 1 \end{array}\right.$$

Discusión del sistema

Resolución en los casos compatibles

Caso $a = 1$:

Caso $a = -1$:

Sean las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 3\lambda \\ z = 1 \end{cases}, \quad s: \begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 4 \end{cases}$$

a) Obtener un plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. [1 punto]

Sean las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 3\lambda \\ z = 1 \end{cases}, \quad s: \begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 4 \end{cases}$$

b) Calcular la distancia entre las dos rectas. [1 punto]

4. Calcular un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores $\vec{u} = (1, 1, -1)$ y $\vec{v} = (2, 1, 0)$. (2 puntos)

$w_1 =$

$w_2 =$

$w_3 =$

5. a) Estudiar la continuidad de la siguiente función $f(x)$ para $x \neq 0$ (con $a \in \mathbb{R}$): (0,5 puntos)

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

a)

b)

Calcular el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 0$. (1,5 puntos)

6. Sea la función $f(x) = \dfrac{2 - x^2}{x^2 - 4}$.

a)

Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de la función $f(x)$. [1,5 puntos]

b)

Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. [0,5 puntos]

Resolver la integral: $$\int \ln^2(x)\,dx$$

8. Dadas las funciones $f(x) = 3x - x^2$ y $g(x) = x^2 - 2x$, calcular el área de la región limitada por sus gráficas.

(2 puntos)

En un estudio a $1000$ estudiantes europeos, $500$ saben hablar inglés, $300$ saben hablar español, y $100$ de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:

a)

Calcular la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas. (1 punto)

b)

Calcular la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla inglés. (1 punto)

10. La duración de un Smartphone se ajusta a una normal de media 3 años y desviación típica de 1 año. El fabricante da una garantía de 3,5 años a sus Smartphone.

a)

Calcular la probabilidad de que un Smartphone dure menos que la garantía. [1 punto]

b)

Calcular la probabilidad de que un Smartphone dure más de 5 años. [1 punto]