Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2026 · Ordinaria

EJERCICIO 1.A [2,5 puntos] a) 1,5 puntos. b) 1 punto.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + y + kz = k \\ kx + (k-1)y + z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$

a)

Discutir el sistema en función del parámetro $k$.

b)

Resolverlo para el caso $k = 2$.

EJERCICIO 1.B [2,5 puntos] Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

a)

[1,25 puntos] Resolver la ecuación matricial $A\cdot X = B^t - 2X$ donde $B^t$ es la traspuesta de la matriz $B$.

$x_{11} =$

$x_{12} =$

$x_{21} =$

$x_{22} =$

b)

[1,25 puntos] Resolver el sistema matricial de ecuaciones: $\begin{cases} 2X + 3Y = A \\ X - 2Y = B \end{cases}$

$x_{11} =$

$x_{12} =$

$x_{21} =$

$x_{22} =$

$y_{11} =$

$y_{12} =$

$y_{21} =$

$y_{22} =$

Dadas las funciones $f(x) = 8 - 8x$ y $g(x) = x^3 - 4x$.

EJERCICIO 2.A [2,5 puntos] a) 1 punto. b) 1 punto. c) 0,5 puntos.

Dada la función $$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}$$

a)

Estudiar y obtener las asíntotas de la función $f$.

b)

Determinar los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

c)

Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de $f(x)$.

EJERCICIO 2.B [1,25 puntos]

Dadas las funciones $f(x) = 8 - 8x$ y $g(x) = x^3 - 4x$.

a)

Calcular $$\int \frac{f(x)}{g(x)} \, dx$$

Dadas las funciones $f(x) = 8 - 8x$ y $g(x) = x^3 - 4x$.

b)

Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$.

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

Sean los puntos $A(1, 3, -2)$ y $B(3, -1, 2)$, y el plano $\pi: 2x - y + 2z - 4 = 0$.

a)

Calcular la ecuación del plano perpendicular al vector $\vec{AB}$ y que pasa por el punto que divide el segmento $AB$ en dos partes iguales.

c)

Obtener la ecuación del plano paralelo al plano $\pi$ y que pase por el punto $B$.

Sean los puntos $A(1, 3, -2)$ y $B(3, -1, 2)$, y el plano $\pi: 2x - y + 2z - 4 = 0$.

b)

Calcular la distancia del punto $A$ al plano $\pi: 2x - y + 2z - 4 = 0$.

Dados los vectores $\vec{u} = (0, 3, -4)$ y $\vec{v} = (12, 4, 3)$:

a)

Comprobar que el paralelogramo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es un rectángulo y calcular su área.

c)

Obtener un vector perpendicular a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de módulo 13.

Dados los vectores $\vec{u} = (0, 3, -4)$ y $\vec{v} = (12, 4, 3)$:

b)

Hallar la ecuación del plano formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y el punto $(1, 0, 0)$.

EJERCICIO 4. [2,5 puntos] a) 0,75 puntos. b) 0,75 puntos. c) 1 punto.

En un estudio realizado por una empresa hotelera se ha obtenido que la distribución del tiempo de estancia del viajero en el hotel es una ley normal de media 3,7 días y desviación típica 1,5 días. Calcular:

a)

¿Qué probabilidad habrá de que un viajero permanezca en el hotel entre 2 y 5 días?

b)

Si se contabilizan 1000 viajeros, ¿cuántos han estado en el hotel más de 7 días?

c)

La empresa quiere bonificar con un descuento a los viajeros que permanezcan muchos días. Después de hacer un estudio del presupuesto con el que cuenta la empresa, solo se puede aplicar al 10% de los viajeros. ¿A partir de qué número de días de permanencia se les podrá aplicar el descuento?

ANEXO TABLA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Tabla de distribución normal $N(0,1)$: $F(z) = P(Z \le z)$