Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2022 · Extraordinaria

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

a)

Estudiar el rango de la matriz $A - \lambda I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $2 \times 2$.

[1,5 puntos]

b)

Para $\lambda = 2$ solucionar el sistema $AX = \lambda X$, donde $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

[0,5 puntos]

Discutir en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$, el sistema lineal de ecuaciones:

$$\begin{cases} 4x + y - 2az = a \\ ax - y + z = 0 \\ y - az = -1 \end{cases}$$

[2 puntos]

Dados los puntos $A = (0, 0, 2)$ y $B = (1, 1, 0)$ y la recta $r: \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}$.

Calcular un punto $P \in r$ para que el triángulo $ABP$ tenga un ángulo recto en el punto $A$.

[2 puntos]

$x =$

$y =$

$z =$

Sean las rectas: $$r: \begin{cases} x = 2 - 2y \\ z = 1 - x \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s: \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z+1}{-2}$$

a)

Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

[1 punto]

Sean las rectas: $$r: \begin{cases} x = 2 - 2y \\ z = 1 - x \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s: \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z+1}{-2}$$

b)

Calcular la distancia entre las dos rectas.

Dada la función $$f(x) = \frac{x^3}{1 - x^2}$$

a)

Estudiar asíntotas, monotonía y puntos extremos de $f(x)$. [1,5 puntos]

b)

Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. [0,5 puntos]

Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de la función $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$.

1.

$x_1 =$

$y_1 =$

2.

$x_2 =$

$y_2 =$

7. Calcular la integral $$\int \frac{1}{x^3 - x} \, dx.$$

8. Hallar el parámetro positivo $a \in \mathbb{R}$ tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = ax$ sea $4/3$.

9. El 50 % de los alumnos de la UEX practica «running» y el 30 % monta en bicicleta. Además, se sabe que el 70 % de los alumnos de la UEX practica uno de los dos deportes. Si seleccionamos un alumno al azar, se pide:

a)

La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes. [0,75 puntos]

b)

Si practica el deporte de montar en bicicleta, ¿cuál es la probabilidad de que practique running? [0,75 puntos]

c)

¿Son independientes los sucesos «Practicar running» y «Practicar montar en bicicleta»? [0,5 puntos]

Sí

No

10. El diámetro de las cerezas picotas del Jerte se distribuye normalmente con media 2,5 cm y desviación típica 0,2 cm.

a)

Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10 % de las más grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas? [1 punto]

b)

Si tomamos una cereza picota del Jerte al azar ¿qué probabilidad tiene la cereza de tener un diámetro entre 2,2 cm y 2,8 cm? [1 punto]