Examen de Matemáticas II PAU Castilla y León 2024 · Ordinaria (Fase Mejora de Nota)

E1.- (Álgebra)

Dado el sistema:

$$\begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \\ mx + 5y - 4z = -1 \end{cases}$$

a)

Estudiar el sistema en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$.

b)

Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.

E2.- (Álgebra)

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & a \end{pmatrix}$, siendo $a \in \mathbb{R}$.

a)

Calcular $AB$. (0,5 puntos)

b)

Estudiar para qué valores de $a$ la matriz $AB$ tiene inversa, calculándola cuando $a = 1$. (1,5 puntos)

E3.- (Geometría)

Dados el plano $\pi \equiv 2x + y = 3$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 1 \end{cases}$

a)

Hallar la ecuación del plano perpendicular a $\pi$, que contenga a $r$.

(1 punto)

b)

¿Existe algún plano paralelo a $\pi$ que contenga a $r$? En caso afirmativo calcularlo.

(1 punto)

Sí

No

E4.- (Geometría)

Dadas las rectas

$$r \equiv \begin{cases} x + y - 5z = -3 \\ -2x + z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv x + 1 = \frac{y - 3}{a} = \frac{z}{2}$$

a)

Encontrar el valor de $a \in \mathbb{R}$, para que las rectas sean paralelas.

b)

Si $a = 9$, calcular la ecuación del plano que las contiene.

E5.- (Análisis) [2 puntos]

Sea $$f(x) = \begin{cases} xe^x & \text{si } x < 0 \\ a\cdot\text{sen}(x) + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Calcular $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable en $0$.

E6.- (Análisis) [2 puntos]

Dada la función $f(x) = e^{x^2}$, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.

1.

2.

3.

4.

5.

E7.- (Análisis)

Calcular:

a)

$$\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x^2)-1}{\operatorname{sen}^2(x)}$$ [1 punto]

E7.- (Análisis)

Calcular:

b)

$$\int_0^1 x e^x dx$$ [1 punto]

E8.- (Análisis)

Dadas las funciones $f(x) = x$ y $g(x) = x^3$:

a)

Comprobar que sólo se cortan en $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$ [0,5 puntos]

$x_1 =$

, $x_2 =$

, $x_3 =$

b)

Hallar el área de la parte del plano limitada por las gráficas de dichas funciones. [1,5 puntos]

$\text{u}^2$

E9.- (Probabilidad y Estadística)

a)

Un mensaje es transmitido con errores con una probabilidad de 0,2. Emitimos de forma independiente 3 mensajes. Calcular la probabilidad de que al menos 2 de los 3 mensajes hayan sido transmitidos con errores.

E9.- (Probabilidad y Estadística)

b) Se consideran los sucesos $A$ y $B$, con $P(A) = \frac{1}{3}$, $P(B) = \frac{1}{5}$ y $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.

Calcular $P(A \cap B)$ y $P(A/B)$.

E10.- (Probabilidad y Estadística)

Las notas que han obtenido 1000 opositores siguen una distribución normal de media $4$ y desviación típica $\frac{100}{51}$.

Distribución Normal $N(0, 1)$

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2}t^2} dt$$

a)

¿Cuántos opositores ha obtenido una calificación superior a 5? [1 punto]

b)

Sabiendo que los opositores con nota superior a 2 y por debajo de 5 formarán la bolsa de empleo, determinar qué porcentaje de opositores ha quedado en esa situación. [1 punto]

%