Ejercicio E5 · Matemáticas II PAU Castilla y León Extraordinaria 2024

Tema: Continuidad, derivabilidad y teoremas de Bolzano y Rolle · Del examen Extraordinaria (2024)

Enunciado

E5.- (Análisis)

Dada la función f(x)=ex+x3−2f(x) = e^x + x^3 - 2, demostrar que f(x)f(x) se anula para algún valor de xx y que ese valor es único.

(2 puntos)

a)

b)

Enunciado: Ejercicio E5 · Matemáticas II PAU Castilla y León Extraordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Demostrar que f(x) se anula para algún valor de x

Solución: Aplicación del teorema de Bolzano en un intervalo como [0,1][0, 1], donde f(0)<0f(0) < 0 y f(1)>0f(1) > 0.

Demostrar que ese valor es único

Solución: La derivada f′(x)=ex+3x2>0f'(x) = e^x + 3x^2 > 0 para todo xx, lo que implica que ff es estrictamente creciente en todo R\mathbb{R} y solo puede anularse una vez.

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