Examen de Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha 2024 · Ordinaria

1. Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} ax + 2y + z = 1 \\ 2x + ay + z = a \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases}$$

a)

[1,5 puntos] Discute el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifica el número de soluciones en cada caso.

b)

[1 punto] Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a = 1$.

$x =$

$y =$

$z =$

2. Con el objetivo de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de $1\text{ dm}^3$ (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.

a)

[1 punto] Determina la función de la superficie del envase en función de $x$ (incluidas las dos bases).

b)

[1 punto] Calcula, razonadamente, los valores de $x$ e $y$, para que la superficie sea mínima.

c)

[0,5 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determina la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de $5\text{ euros}$ el $\text{dm}^2$.

Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene de extremos los puntos de coordenadas $A(2, -1, 3)$ y $B(-2, 4, 5)$.

a)

[1 punto] Determina la ecuación de la recta que representa la viga.

(,,)

Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene de extremos los puntos de coordenadas $A(2, -1, 3)$ y $B(-2, 4, 5)$.

b)

[0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?

c)

[1 punto] Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos $A$, $B$ y $C(0,0,1)$. Determina el área de la placa triangular.

4.

a)

[1 punto] Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}-1}{x^{2}+3}$.

4.

b)

[1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ a & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

en función de los valores de $a \in \mathbb{R}$.

5.

a)

[1 punto] Calcula la siguiente integral: $\int x\sqrt{2x + 3}\,dx$. Puedes utilizar el cambio de variable $t = \sqrt{2x + 3}$.

5.

b)

[1,5 puntos] Sean los vectores $\vec{u} = (1, a, a)$ y $\vec{v} = (-1, 0, 2)$, con $a \in \mathbb{R}$. Determina el valor de $a$ para que el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sea de $60^\circ$.

Ejercicio 6

a)

[1 punto] Calcula los coeficientes $a, b, c \in \mathbb{R}$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$ y un punto de inflexión en $P(1, 2)$. Justifica tu respuesta.

Ejercicio 6

b)

Sean dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0{,}2$; $P(A \cap B) = 0{,}1$ y $P(A \cup B) = 0{,}3$. Calcula:

b.1)

[0,75 puntos] $P(B)$ y $P(A \cap \overline{B})$, con $\overline{B}$ el suceso complementario de $B$.

b.2)

[0,75 puntos] $P(A \mid B)$ y $P(B \mid A)$.

7.

a)

[1,25 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$. ¿Existe algún valor de $a$ para el que la matriz $A$ y su inversa sean iguales? Si es así, indica cuáles. Justifica tu respuesta.

$a =$

7.

b)

[1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto $A(1, 0, 0)$ y que es perpendicular a los vectores $\vec{u} = (1, 2, 1)$ y $\vec{v} = (1, 0, 0)$.

8.

a.1)

Calcula la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.

a.2)

Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcula la probabilidad de que practique natación.

8.

b) El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km sigue una distribución normal de media 60 minutos y una desviación típica de 8 minutos.

b.1)

[0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?

b.2)

[0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 50 y 66 minutos?