Examen de Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha 2026 · Ordinaria

Pregunta 1.

Durante la misión Dulcinea, el equipo de control clasifica las alertas técnicas detectadas a bordo en tres sistemas: sistema de navegación, que genera el $50\%$ de las alertas, el sistema de comunicaciones, que genera el $30\%$ de las alertas y el sistema de soporte vital, que genera el $20\%$ de las alertas.

Además, se sabe que el $4\%$ de las alertas de navegación, el $6\%$ de las de comunicaciones y el $10\%$ de las alertas de soporte vital, son críticas. Si se elige una alerta al azar.

a)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que la alerta sea crítica.

b)

[1 punto] Sabiendo que la alerta no es crítica, calcula la probabilidad de que proceda del soporte vital.

Durante una campaña de promoción de productos de Castilla-La Mancha, una empresa dedicada a la venta de azafrán estima que el beneficio diario obtenido, expresado en cientos de euros, viene dado por la función:

$$B(x) = 80x \cdot e^{-0,5x}$$

Donde $x$ representa el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña

a)

[1,25 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función $B(x)$ y determina el día en que el beneficio diario es máximo.

Durante una campaña de promoción de productos de Castilla-La Mancha, una empresa dedicada a la venta de azafrán estima que el beneficio diario obtenido, expresado en cientos de euros, viene dado por la función:

$$B(x) = 80x \cdot e^{-0,5x}$$

Donde $x$ representa el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña

b)

[0,75 puntos] A largo plazo, ¿tiende el beneficio diario a estabilizarse en algún valor? En caso afirmativo determina dicho valor e interprételo en el contexto del problema.

Pregunta 3.

a)

[1 punto] Determina los valores de $a$ y $b$ para que las matrices $A$ y $B$ cumplan que $A \cdot B = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

b)

[1 punto] Resuelve razonadamente el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \\ 2X + 3Y = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \end{cases}$$

4.1. Dados los vectores $\vec{u} = (1, -1, a)$, $\vec{v} = (2, a, 1)$ y $\vec{w} = (-1, 1, -1)$, se pide:

a)

[0,75 puntos] Halla los valores reales de $a$ para que los tres vectores sean coplanarios. Justifica tu respuesta.

b)

[1,25 puntos] Halla los valores reales de $a$ para que el volumen del paralelepípedo formado por los vectores del enunciado sea $10\text{ u}^3$.

4.2. [2 puntos] En un parque público, se está instalando un sistema de vigilancia mediante sensores de movimiento a ambos lados de un muro recto. Dicho muro está representado por el plano de ecuación: $$\pi \equiv x + y + z - 6 = 0$$ Uno de los sensores está situado en el punto de coordenadas $P(1, 2, 6)$ y se desea instalar un segundo sensor en el punto $P'$, simétrico del anterior respecto del plano $\pi$.

a)

[1,25 puntos] Determina razonadamente las coordenadas del punto de instalación del segundo sensor, $P'$.

b)

[0,75 puntos] Calcula la distancia entre los dos sensores.

5.1. Responde a los siguientes apartados:

a)

[1 punto] Calcula justificadamente el siguiente límite: $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)^x$$

b)

[1 punto] Calcula justificadamente la siguiente integral: $$\int e^x \cdot \operatorname{sen} x \, dx$$

5.2. [2 puntos] Sea la función $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ donde $a$ y $b$ son números reales. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x = 1$.

a)

b)