Examen de Estadística II UB 2019 · Recopilación de exámenes oficiales resueltos de

Contexto

Esta prueba reúne preguntas oficiales de convocatorias de la asignatura Estadística II. Cada bloque de preguntas evalúa contenidos sobre distribuciones muestrales, propiedades de los estimadores, contrastes de hipótesis paramétricos y no paramétricos, análisis de la varianza (ANOVA) e intervalos de confianza. Cada cuestión de opción múltiple cuenta con una única alternativa correcta.

1. Convocatoria 2019: Preguntas 1-8

a. El incremento salarial anual en medianas empresas sigue una distribución $N(12\%, 3{,}6\%)$. Para una muestra de 81 directivos, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que el incremento medio muestral no sea superior al 11,5%?

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1. Convocatoria 2019: Preguntas 1-8

b. Un automovilista compara dos talleres (A y B) para reparar una avería. En el taller A, 20 reparaciones dieron un promedio de 80 minutos; en el taller B, 20 reparaciones tuvieron una media de 77 minutos. Las desviaciones típicas poblacionales son de 8 y 6 minutos, respectivamente, asumiendo normalidad. Considerando los extremos del intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias, ¿es admisible afirmar que ambos talleres tienen el mismo tiempo medio poblacional?

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1. Convocatoria 2019: Preguntas 1-8

c.

El tiempo medio en desempleo de cierto sector sigue una distribución Normal y se conjetura que es de 13,50 meses. Se contrasta frente a la alternativa de que es superior. En una muestra de 14 profesionales se obtuvo una desviación típica de 15,30 meses. Si el criterio de decisión consiste en no rechazar la hipótesis nula cuando la media muestral sea inferior a 19,33 meses, ¿cuál es el nivel de significación implícito del contraste?

Datos: $P(t_{13} > 1{,}77) = 0{,}05$; $P(t_{13} > 1{,}35) = 0{,}10$; $P(t_{13} > 1{,}43) = 0{,}09$; $P(t_{13} > 2{,}16) = 0{,}025$.

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1. Convocatoria 2019: Preguntas 1-8

d. Indique la afirmación verdadera sobre estimación y parámetros:

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1. Convocatoria 2019: Preguntas 1-8

e. La producción diaria de vehículos tiene una media de 1.550 unidades y una desviación típica de 100 unidades. Si una factoría opera 248 días al año, la probabilidad aproximada de que la producción global anual supere las 460.000 unidades es:

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1. Convocatoria 2019: Preguntas 1-8

f. Para estimar la proporción de personas de clase media, se encuesta a 200 individuos y 78 manifiestan pertenecer a dicho segmento. ¿Qué estimación puntual e intervalo de confianza al 95% se obtienen?

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1. Convocatoria 2019: Preguntas 1-8

g. Considere la variable aleatoria discreta $X$ ($\theta > 0$) con la siguiente distribución:

$X_i$ · $0$ · $1$ · $2$

$P_i$ · $\theta$ · $\theta + 0{,}1$ · $0{,}20 \cdot \theta$

A partir de un muestreo aleatorio simple, se propone $\hat{\theta} = \bar{X}$. ¿Es este estimador insesgado?

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1. Convocatoria 2019: Preguntas 1-8

h.

Se desea comparar el apoyo a una tasa en dos ciudades mediante muestras independientes de 100 ciudadanos cada una, resultando 50 y 40 personas favorables, respectivamente. Los extremos del intervalo de confianza al 90% para la diferencia de proporciones son:

Convocatoria 2019: Preguntas 9-16

a. El contraste de bondad de ajuste de Pearson ($\chi^2$) es aplicable:

Convocatoria 2019: Preguntas 9-16

b. Señale la afirmación FALSA sobre contrastes paramétricos:

Convocatoria 2019: Preguntas 9-16

c. Se analiza si el gasto de clientes difiere según la franja horaria (mañana, mediodía, tarde) con muestras de 25, 22 y 20 clientes ($\alpha = 0{,}05$). Se dispone de la tabla ANOVA:

Origen de las variaciones · Suma de cuadrados · Grados de libertad · Promedio cuadrados · $F$ · Valor crítico para $F$

Entre grupos · · · 4.141,38 · · 3,14

Dentro de los grupos · 6.156,43

Total · 14.439,19 · 66

Con estos resultados:

Los grados de libertad intra-grupos son 2. El estadístico $F = 43{,}05$ y se concluye que las poblaciones tienen varianzas distintas. El estadístico $F = 43{,}05$ y se concluye que las medias poblacionales son distintas. Los grados de libertad inter-grupos son 64.

Convocatoria 2019: Preguntas 9-16

d. Se estudia la relación entre el recuerdo de voto pasado y la intención de voto futuro en una muestra de 200 ciudadanos:

INTENCIÓN · RECUERDO · TOTAL

IZQUIERDA · DERECHA

IZQUIERDA · 84

DERECHA · · 40

TOTAL · 120 · 80 · 200

A un nivel de significación del 5%, y sabiendo que $P(\chi_1^2 \le 3{,}84) = 0{,}95$ y $P(\chi_4^2 \le 9{,}5) = 0{,}95$, determine si la intención de voto es independiente del recuerdo de voto:

Convocatoria 2019: Preguntas 9-16

e. Dadas dos muestras independientes de poblaciones normales, se realiza un contraste de igualdad de varianzas frente a la alternativa de que la primera es superior mediante la salida de software:

Prueba F para varianzas de dos muestras

· X1 · X2

Media · 115,9167 · 143,8667

Varianza · 1024,4470 · 468,1238

Observaciones

Grados de libertad · 11 · 14

F

P(F<=f) una cola · 0,0847

Elija la opción correcta:

)

Convocatoria 2019: Preguntas 9-16

f. Suponiendo poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero homogéneas, se contrasta la igualdad de medias con la siguiente salida:

Indique la formulación correcta para el estadístico de prueba:

Convocatoria 2019: Preguntas 9-16

g. Para contrastar $H_0: p = 0{,}50$ frente a $H_1: p > 0{,}50$ respecto a la apertura de un centro cívico, en una muestra de 200 ciudadanos 112 se manifestaron a favor. ¿Para qué niveles de significación se rechazará $H_0$?

)

Convocatoria 2019: Preguntas 9-16

h. Sean $X \sim N(\mu_X; 5)$ e $Y \sim N(\mu_Y; 3)$ dos variables normales independientes. Se eligen muestras de tamaños 35 y 47 respectivamente. Sabiendo que $P(F_{34;46} < 1{,}21) = 0{,}7293$, $P(F_{34;46} < 1{,}44) = 0{,}8762$, $P(F_{34;46} < 2{,}40) = 0{,}9970$ y $P(F_{34;46} < 2{,}64) = 0{,}9988$, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que la desviación muestral de la primera sea menor que el doble de la segunda?

)

Convocatoria Junio 2018: Preguntas 1-8

a. Para estimar el intervalo de confianza de la diferencia de medias entre dos poblaciones normales independientes con varianzas desconocidas pero idénticas, se emplea en el cálculo:

)

Convocatoria Junio 2018: Preguntas 1-8

b. Una empresa comercializa un bien con un coste fijo de 100 € y costes variables de $2X$ €, vendiéndose a 5 € la unidad. Si la demanda $X$ se distribuye de manera uniforme continua en el intervalo $(250\;\ 300)$, el beneficio esperado asciende a:

)

Convocatoria Junio 2018: Preguntas 1-8

c. El rendimiento diario de una participación financiera tiene una media de 100 € y desviación típica de 10 €. La probabilidad aproximada de que en 300 días el valor acumulado supere los 30.300 € es:

)

Convocatoria Junio 2018: Preguntas 1-8

d. Atendiendo a la definición formal de «estadístico muestral»:

)

Convocatoria Junio 2018: Preguntas 1-8

e. Identifique cuál de las siguientes opciones es FALSA:

)

Convocatoria Junio 2018: Preguntas 1-8

f. Una red eléctrica falla cuando la tensión sobrepasa su capacidad. La tensión sigue un modelo $N(100;\, \sigma^2 = 400)$ y la capacidad es $N(140;\, \sigma^2 = 100)$, con independencia entre ambas. La probabilidad de avería es aproximadamente:

)

Convocatoria Junio 2018: Preguntas 1-8

g. Dadas dos muestras independientes de poblaciones normales con los datos: $n_X = 20, S_X = 12$ y $n_Y = 25, S_Y = 10$, se plantea el contraste $H_0: \sigma_X^2 = \sigma_Y^2$ frente a $H_1: \sigma_X^2 \neq \sigma_Y^2$. Elija la afirmación correcta:

Convocatoria Junio 2018: Preguntas 1-8

h. Se planifica una encuesta médica para estimar simultáneamente: (i) la proporción de fumadores con 90% de confianza y margen de error de 2 puntos porcentuales, y (ii) la proporción de bebedores con 95% de confianza y error de 3 puntos. Bajo máxima indeterminación ($p = 0,5$), ¿cuántas personas deben encuestarse como mínimo para garantizar ambos objetivos?

4. Convocatoria Junio 2018: Preguntas 9-16

a. En una muestra de 9 observaciones normales se observa una media de 55 y una varianza muestral de 36. Si se contrasta $H_0: \mu = 50$ y $H_0: \sigma^2 = 30$, los estadísticos de prueba respectivos valen:

4. Convocatoria Junio 2018: Preguntas 9-16

b. El número semanal de accidentes graves en una vía sigue un modelo de Poisson con parámetro 3,5. Para una muestra de 45 semanas, ¿cuál es la probabilidad de que la media semanal supere los 3 accidentes?

4. Convocatoria Junio 2018: Preguntas 9-16

c. En la construcción del intervalo de confianza para la varianza de una población normal a partir de una muestra aleatoria, es cierto que:

)

4. Convocatoria Junio 2018: Preguntas 9-16

d.

Considere el informe descriptivo sobre la variable edad proporcionado por una hoja de cálculo:

X1

Media · 25,3409091

Error típico · 1,56971307

Mediana · 20

Moda · 19

Desviación estándar · 10,4122986

Varianza de la muestra · 108,415962

Curtosis · 5,04441909

Coeficiente de asimetría · 2,16532646

Rango · 47

Mínimo · 19

Máximo · 66

Suma · 1115

Cuenta · 44

Nivel de confianza(95,0%) · 3,16562811

Señale la afirmación correcta respecto a la edad media poblacional:

)

4. Convocatoria Junio 2018: Preguntas 9-16

e. Al comparar dos estimadores de un parámetro donde el primero posee sesgo positivo y el segundo sesgo negativo, se cumple:

)

4. Convocatoria Junio 2018: Preguntas 9-16

f. Para evaluar diferencias en la asistencia entre hombres y mujeres a un gimnasio, se extraen muestras de 250 mujeres y 200 hombres, resultando un intervalo al 90% para la diferencia de proporciones de [-0,10; -0,08]. A un nivel de significación del 10%:

)

4. Convocatoria Junio 2018: Preguntas 9-16

g. Sea la función de densidad $f(x) = \theta \cdot x^\theta$ para $0 < x < 1$ con $\theta > 0$. La función de log-verosimilitud para una muestra aleatoria de tamaño $n$ es:

)

4. Convocatoria Junio 2018: Preguntas 9-16

h. En una muestra de 60 individuos, el 95% se declara bilingüe. Se realiza el contraste $H_0: p = 0{,}90$ frente a $H_1: p > 0{,}90$. ¿Para qué niveles de significación se rechaza $H_0$?

)

5 Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 1-8

a. En una aseguradora el 70% de pólizas pertenecen a Hogar. En una muestra de 100 pólizas, la probabilidad aproximada de que la proporción muestral supere el 65% es:

)

5 Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 1-8

b. En una población normal con desviación típica 20, se plantea contrastar $H_0: \mu = 90$ frente a $H_1: \mu = 95$. Si el criterio es rechazar $H_0$ cuando la media de una muestra de 64 datos sea mayor que 93, ¿cuál es la probabilidad del error de tipo II?

)

5 Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 1-8

c. Un comercial capta 20 clientes de cada 100 prospectos que visita. Si visita a 8 prospectos, ¿cuál es la probabilidad de que capte como mínimo dos clientes?

)

5 Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 1-8

d. En una muestra de 1.000 familias se obtiene un tamaño medio de 3,45 miembros con una varianza muestral de 2,31. El intervalo de confianza al 95% para la media poblacional es:

)

5 Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 1-8

e. Sea $X \sim B(8; p)$. Para una muestra de tamaño $n$, el estimador de $p$ obtenido por el Método de los Momentos es:

)

5 Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 1-8

f. Indique qué afirmación es FALSA:

)

5 Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 1-8

g. Se contrasta si la media de una variable normal es igual a 40 con el siguiente resultado computacional:

One Sample t-test

data: X0

t = -2.7028, df = 43, p-value = 0.004903

alternative hypothesis: true mean is less than 40

A un nivel de significación del 1%, la conclusión es:

)

5 Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 1-8

h. Una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ se define formalmente como:

)

Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 9-16

a. Indique la propiedad correcta referente a los estimadores puntuales:

)

Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 9-16

b. En un test sobre la proporción poblacional se obtiene un p-valor de $0{,}04$ frente a $H_0: p = 0{,}5$. Señale la conclusión correcta:

)

Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 9-16

c. El tiempo de traslado a una facultad sigue un modelo $U(30; 40)$ minutos. Si un estudiante entra a las 8:00, ¿a qué hora debe partir para garantizar con un 80% de probabilidad no llegar tarde?

)

Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 9-16

d. De 180 empleados masculinos, 135 apoyan medidas de conciliación; de 120 empleadas, solo 18 se oponen. En un contraste de igualdad de proporciones al nivel de significación del 5%:

)

Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 9-16

e. Para una muestra de tamaño $n = 100$ con proporción observada de $0{,}3$, determine cuál de las afirmaciones para un nivel de confianza del $90\%$ es FALSA:

)

Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 9-16

f. Se dispone del intervalo de confianza al $90\%$ para el peso medio de un grupo poblacional: $P(49 \le \mu \le 65) = 0{,}90$. En el contraste bilateral $H_0: \mu = 70$ frente a $H_1: \mu \ne 70$ con $\alpha = 10\%$:

)

Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 9-16

g. Se desea estimar el respaldo ciudadano al transporte híbrido mediante una muestra con un margen de error del $3\%$ y un nivel de confianza del $90\%$. Asumiendo máxima varianza ($p = 0{,}5$), el tamaño necesario es:

)

Convocatoria Junio 2018 (Cuestionario 66): Preguntas 9-16

h. Para estimar la media poblacional con una muestra de $n = 10$, se comparan dos estimadores: $\hat{\mu}_1 = 0{,}4X_1 + 0{,}3X_3 + 0{,}6X_{10}$ y $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{10}(3X_1 + 7X_2)$. Indique cuál es correcto:

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

a. Los beneficios mensuales de una entidad siguen un modelo $N(\mu; 1)$. Se contrasta $H_0: \mu = 0$ frente a $H_1: \mu = 1$ con una muestra de $25$ meses. Si se estipula no rechazar $H_0$ cuando la media sea inferior a $0{,}328$, determine la afirmación correcta:

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

b. En relación con la probabilidad $P(|\bar{X} - \mu| \le k)$:

)

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

c. Una empresa de autolavado desea estimar el promedio anual de visitas de sus clientes. Con una desviación poblacional supuesta de 9 y distribución normal, ¿qué tamaño muestral asegura al 99% de confianza que la media muestral no difiera de la poblacional en más de 3 unidades?

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

d. El flujo de pedidos en un comercio electrónico sigue una ley de Poisson de tasa 2 pedidos cada 30 segundos. La probabilidad aproximada de recibir 6 pedidos en un minuto es:

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

e. Dada la distribución poblacional del número de tarjetas de crédito poseídas:

X · 0 · 1 · 2 · 3

P(X) · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 0,15

Para una muestra de 70 individuos, la distribución de la media muestral es:

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

f. Si tras realizar un test al nivel $\alpha = 10\%$ la decisión es no rechazar la hipótesis nula:

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

g. Para contrastar la igualdad de proporciones poblacionales, se observa una muestra $X$ con 66 éxitos de 150 elementos y otra muestra $Y$ con 92 éxitos de 200 observaciones. La expresión analítica correcta para el estadístico de contraste es:

()

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

h. La asistencia semanal a dos estadios sigue modelos $N(400;\, \sigma = 150)$ y $N(335;\, \sigma = 100)$. Tomando muestras independientes de 35 semanas en ambos, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del primer recinto sea superior a la del segundo?

Convocatoria Junio 2017: Preguntas 1-9

i. Elija la afirmación verdadera respecto a estimadores:

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

a. Indique la afirmación FALSA:

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

b. En una muestra de 25 jamones se registró un peso medio de 4 kg y una desviación típica de 0,800 kg. Asumiendo normalidad, el intervalo de confianza al 95% para la varianza poblacional es:

Datos: $P(\chi_{24}^2 \le 12,40) = 0,025$; $P(\chi_{24}^2 \le 39,36) = 0,975$; $P(\chi_{24}^2 \le 36,41) = 0,95$; $P(\chi_{24}^2 \le 13,85) = 0,05$.

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

c.

Una pizzería asegura entregar pedidos en menos de 8 minutos de media. Si la variable es normal con $\sigma = 1$ minuto, ¿qué valores medios en una muestra de 25 pizzas permitirán rechazar $H_0: \mu = 8$ en favor de $H_1: \mu < 8$ al nivel del 5%?

)

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

d. Identifique la afirmación FALSA relativa a distribuciones asociadas a la Normal:

)

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

e. Sea $X \sim U(a; 4a)$. Se estima el parámetro $a$ mediante el Método de los Momentos sobre una muestra de 40 datos cuya media fue 10. La estimación obtenida para $a$ es:

)

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

f. Dadas dos variables binomiales con $n = 5$, la primera con $p_1 = 0{,}2$ y la segunda con $p_2 = 0{,}4$, ¿cuál presenta menor asimetría?

)

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

g. El tiempo de espera hasta la llegada de un taxi se distribuye según una ley Uniforme en el intervalo $[1, 8]$ minutos. La probabilidad de tener que esperar entre 2 y 5 minutos es:

)

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

h. Se contrasta la igualdad de medias entre dos poblaciones normales con igual varianza al nivel $\alpha = 5\%$ con el siguiente reporte:

Elija la afirmación FALSA:

)

8 Convocatoria Junio 2017: Preguntas 10-18

i. En una población $N(15;\, \sigma = 0{,}15)$ se extrae una muestra de tamaño 20. Sabiendo que $P(\chi^2_{19} > 11{,}76) = 0{,}90$ y $P(\chi^2_{19} > 14{,}95) = 0{,}75$, la probabilidad de que la cuasidesviación típica muestral sea superior a 0,118 es: