Examen de Estadística II UB 2019 · Juny

Pregunta 1. Probabilidad de la media muestral

A partir de una población con distribución normal de media $\mu = 12$ y desviación típica $\sigma = 3{,}6$, se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 81$. Determine la probabilidad de que la media muestral $\bar{X}$ sea inferior a $11{,}5$.

Pregunta 2. Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias

Se dispone de dos poblaciones normales independientes de las que se seleccionan dos muestras aleatorias:

Muestra A: $n_A = 20$, con media muestral $\bar{x}_A = 80$ y desviación típica conocida $\sigma_A = 8$.

Muestra B: $n_B = 20$, con media muestral $\bar{x}_B = 77$ y desviación típica conocida $\sigma_B = 6$.

Calcule el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias poblacionales $\mu_A - \mu_B$.

Límite inferior:

Límite superior:

Pregunta 3. Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias

A la vista del intervalo de confianza calculado en la pregunta anterior, contraste al nivel de significación $\alpha = 0,05$ la hipótesis nula de igualdad de medias:

$$H_0: \mu_A - \mu_B = 0 \quad \text{frente a} \quad H_1: \mu_A - \mu_B \neq 0$$

Pregunta 4. Nivel de significación en un contraste unilateral

Se realiza el siguiente contraste de hipótesis para la media de una población normal con varianza desconocida:$$H_0: \mu = 13{,}5 \quad \text{frente a} \quad H_1: \mu > 13{,}5$$Se toma una muestra de tamaño $n = 14$, obteniéndose una cuasidesviación típica muestral $S = 15{,}3$. La regla de decisión establece no rechazar $H_0$ si $\bar{x} < 19{,}33$. Determine el nivel de significación $\alpha$ asociado a este contraste.

Pregunta 5. Probabilidad para la suma muestral

Considere $n = 248$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una con media $\mu = 1550$ y desviación típica $\sigma = 100$. Calcule la probabilidad de que el total acumulado $X = \sum_{i=1}^{248} X_i$ supere el valor de $460\,000$.

Pregunta 6. Intervalo de confianza para una proporción

En una muestra aleatoria de tamaño $n = 200$, se observan 78 éxitos, lo que proporciona una proporción muestral de $\hat{p} = \frac{78}{200} = 0{,}39$. Construya un intervalo de confianza al 95% para la proporción poblacional $p$.

a)

b)

Pregunta 7. Sesgo de un estimador

A partir de una distribución con parámetro $\theta$, se evalúa la esperanza matemática de un estadístico muestral que resulta ser:

$$E[T] = 1 \cdot (\theta + 0,1) + 2 \cdot (0,2 - \theta)$$

Deduzca la expresión del sesgo $B(\theta)$ y clasifique el comportamiento del estimador.

Pregunta 8. Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones

Dadas dos muestras independientes con los siguientes datos: Muestra X: $n_X = 100$, con proporción muestral $\hat{p}_X = 0{,}5$.

Muestra Y: $n_Y = 100$, con proporción muestral $\hat{p}_Y = 0{,}4$.

Determine el intervalo de confianza al 90% para la diferencia de proporciones $p_X - p_Y$.

a)

b)

Pregunta 11. Comparación de múltiples muestras (ANOVA)

Se dispone de un diseño muestral con tres grupos de observaciones cuyos tamaños respectivos son $n_1 = 25$, $n_2 = 22$ y $n_3 = 20$.

Indique el número total de observaciones y los grados de libertad entre grupos (intergrupos) e intra grupos (intragrupos) para realizar el análisis de varianza.

a)

b)

c)

Pregunta 13. Cuestión teórica

Resuelva la cuestión teórica correspondiente al tema de contrastes no paramétricos o modelos lineales según el temario oficial de la asignatura.