Examen de Matemàtiques I UPF 2019 · Final (2019-20)

Exercici 1 [8 punts]. Domini de funció amb logaritme

Trobeu el domini de definició de la funció següent:

$$f(x) = \frac{1}{\ln(x^4 - 16)}$$

Indiqueu el resultat emprant la notació d'intervals o d'unió d'intervals.

Exercici 2 [8 punts]. Circumferència tangent a una recta

Es considera la circumferència que té centre en el punt $(1, 3)$ i radi $r = \sqrt{10 - C}$. Determineu el valor del paràmetre real $C$ perquè aquesta circumferència sigui tangent a la recta $y = \frac{1}{2}x$ (és a dir, perquè tinguin un únic punt d'intersecció).

Exercici 3 [8 punts]. Inequació amb valor absolut

Resoleu la inequació següent en funció dels diferents valors del paràmetre real $k \in \mathbb{R}$:

$$-x^2 + k < |x|$$

El nombre acumulat de persones contagiades per una malaltia, $t$ dies després de l'inici d'un brot epidèmic, segueix l'evolució logística:

$$Q(t) = \frac{2296}{1 + 1068e^{-kt}}$$

Sabent que al cap de deu dies ($t = 10$) s'han registrat 280 individus malalts:

a.

Determineu el valor de la constant $k$.

b.

En quin instant de temps s'arribarà a la xifra de 2296 persones malaltes? Raoneu la resposta.

Exercici 5 [8 punts]. Polinomi de Taylor d'ordre 2

Donada la funció $f(x) = e^{-x^2+1}$:

a.

Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 per a $f(x)$ al voltant del punt $x = 1$.

b.

Feu servir el polinomi obtingut a l'apartat anterior per estimar el valor numèric de $e^{-0.21}$.

Es considera el polinomi definit per:$$p(x) = -\frac{1}{8}(x - 1)(x - 4)^2 = -\frac{x^3}{8} + \frac{9}{8}x^2 - 3x + 2$$

a.

Esbosseu la gràfica de $p(x)$, assenyalant els extrems locals de la funció (no és necessari analitzar la concavitat ni els punts d'inflexió).

c.

Determineu, si existeixen, els extrems globals de $p(x)$ dins de l'interval tancat $[1, k]$ en funció dels valors del paràmetre $k$ amb $1 < k \le 4$.

Es considera el polinomi definit per:$$p(x) = -\frac{1}{8}(x - 1)(x - 4)^2 = -\frac{x^3}{8} + \frac{9}{8}x^2 - 3x + 2$$

b.

Trobeu l'àrea de la regió compresa entre la corba $p(x)$ i l'eix de les abscisses ($y = 0$), detallant tots els passos del càlcul integral.

Exercici 7 [15 punts]. Derivació implícita i recta tangent

Es considera la corba plana descrita per l'equació implícita $15x^2y + 7y^3 = 22$.

a.

Calculeu la derivada $y'$ mitjançant el mètode de derivació implícita.

b.

Trobeu els punts de la corba amb ordenada $y = 1$ tals que la recta tangent en aquests punts tingui l'equació $y = \frac{5}{6}x + \frac{11}{6}$.

Exercici 8 (15 punts). Extrems d'una família de funcions

Es considera la família de funcions $f(x) = xe^{-ax^2}$, on $a \in \mathbb{R}$ és una constant.

a)

Determineu els extrems locals i els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$ en funció dels valors de $a$.

b)

En el cas particular $a = \frac{1}{2}$, calculeu els extrems globals de la funció (si en té) i deduïu el seu recorregut (o imatge).

x = f(x) =

x = f(x) =

Exercici 9 (15 punts). Àlgebra matricial i vectorial

Resoleu els problemes següents d'àlgebra lineal:

a)

Donades les matrius $\mathbf{A} = (a_{ij})_{3 \times 1}$ amb elements $a_{ij} = 2^{i+j}$ (on $i$ indica la fila i $j$ la columna) i $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 & k & 8 \end{pmatrix}$, trobeu el valor de $k$ perquè el producte matricial $\mathbf{AB}$ sigui una matriu simètrica.

k =

Exercici 9 (15 punts). Àlgebra matricial i vectorial

Resoleu els problemes següents d'àlgebra lineal:

b. Donats els vectors de l'espai $\mathbb{R}^3$: $\vec{a} = (1, -3, 1)$, $\vec{b} = (2, -1, 3)$ i $\vec{c} = (2, 4, 4)$:

• Calculeu l'expressió $(\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b})$.

• Determineu si els tres vectors són linealment dependents o independents. Si són linealment dependents, expresseu un d'ells com a combinació lineal dels altres dos.