Exercici 8 · Matemàtiques I UPF 2019

a. Determineu els extrems locals i els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$ en funció dels valors de $a$.

Solución: Si $a \leq 0$: estrictament creixent a tot $\mathbb{R}$, sense extrems locals. Si $a > 0$: mínim local a $x = -\sqrt{1/(2a)}$, màxim local a $x = \sqrt{1/(2a)}$; decreixent a $(-\infty, -\sqrt{1/(2a)})$ i $(\sqrt{1/(2a)}, \infty)$, creixent a $(-\sqrt{1/(2a)}, \sqrt{1/(2a)})$.

b. Punt d'abscissa del mínim global $x$ per a $a = 1/2$

Solución: -1

b. Valor del mínim global $f(-1)$ per a $a = 1/2$

Solución: -e^(-1/2) / -1/√e

b. Punt d'abscissa del màxim global $x$ per a $a = 1/2$

Solución: 1

b. Valor del màxim global $f(1)$ per a $a = 1/2$

Solución: e^(-1/2) / 1/√e

b. Recorregut (o imatge) $R_f$ de la funció per a $a = 1/2$

Solución: [-e^(-1/2), e^(-1/2)] / [-1/√e, 1/√e]