Examen de Matemàtiques I UPF 2019 · Recuperació 2019-20

Trobeu el domini de definició de la funció següent en funció del valor del paràmetre $k \ge 0$:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x^2 - k^2}$$

Exresseu la resposta emprant intervals o unions d'intervals:

a)

b)

c)

Es considera la funció:

$$f(x) = \frac{kx - 12}{x - 6}$$

a)

Justifiqueu raonadament per a quins valors de $k$ el nombre $2$ forma part del recorregut (imatge) de $f$.

b)

Calculeu la imatge de la funció quan $k = 2$ i quan $k = 10$.

A la figura següent es mostren dues corbes corresponents a funcions del tipus exponencial, logarítmic o potencial (o trasllats d'aquestes), o bé a funcions polinòmiques de grau mínim:

a)

Trobeu les fórmules explícites de $f(x)$ i de $g(x)$.

b)

Dibuixeu la corba corresponent a $f(x - 2) + 1$ sobre els mateixos eixos de coordenades, justificant el procediment gràfic seguit.

Exercici 4 (8 punts). Comparació de creixement d'exportacions i importacions

Durant l'any 2020, les exportacions d'un país van assolir un total de 50 milions de dòlars, mentre que les importacions es van situar en 2.000 milions de dòlars aquell mateix any. A partir de llavors, les exportacions creixen a un ritme del 20% anual respecte a l'exercici precedent, mentre que les importacions s'incrementen a raó de 100 milions de dòlars cada any.

En quina dècada el valor de les exportacions superarà el de les importacions? (Considereu com a dècades: dècada dels vint, dècada dels trenta, dècada dels quaranta...).

Exercici 5 (8 punts). Taylor d'ordre 1 i diferencial

Considerant la funció

$$f(x) = e^{-x^2} \sqrt{x + 1}$$

a)

Determineu el polinomi de Taylor de grau 1 de $f(x)$ centrat al punt $x = 0$.

b)

Calculeu la diferencial $df$ i l'increment $\Delta f$ de la funció quan la variable canvia de 0 a 0,1, i interpreteu el significat del resultat obtingut.

Sigui la funció dependent del paràmetre $k \neq 0$:

$$f(x) = \frac{kx^2}{2x^2 + 6}$$

Indicació: la segona derivada de $f$ sense simplificar és:

$$f''(x) = \frac{12k(2x^2 + 6)(-6x^2 + 6)}{(2x^2 + 6)^4}$$

a.

Determineu els seus punts estacionaris.

b.

Trobeu els extrems globals de la funció en cas que n'hi hagi (si no en té, justifiqueu per què) i escriviu el seu recorregut en qualsevol cas.

Sigui la funció dependent del paràmetre $k \neq 0$:

$$f(x) = \frac{kx^2}{2x^2 + 6}$$

Indicació: la segona derivada de $f$ sense simplificar és:

$$f''(x) = \frac{12k(2x^2 + 6)(-6x^2 + 6)}{(2x^2 + 6)^4}$$

c.

Indiqueu els punts d'inflexió i els intervals on la funció és còncava ($\cap$) i convexa ($\cup$).

Es consideren les funcions $f(x) = x^3 + 2x^2 - 2x$ i $g(x) = x$.

a.

Resoleu la inequació $f(x) < g(x)$ i doneu la solució en forma d'interval o reunió d'intervals.

Es consideren les funcions $f(x) = x^3 + 2x^2 - 2x$ i $g(x) = x$.

b.

Calculeu l'àrea de la regió compresa entre les gràfiques de $f(x)$ i $g(x)$, detallant tots els passos i càlculs.

Exercici 8 (15 punts). Derivació implícita i recta tangent

Es considera la corba plana descrita per l'equació:

$$-x^2 + 2x - y^2 + 4y - 3 = 0$$

a.

Trobeu la derivada implícita $y'$ respecte de $x$.

b.

Determineu, en cas que existeixin, els punts de la corba d'ordenada $y = 3$ en els quals la recta tangent tingui pendent igual a $-1$.

(,)

c.

Dibuixeu la corba i la recta tangent trobada a l'apartat anterior.

Aquest exercici aborda l'estudi de determinades matrius quadrades i la dependència lineal de vectors:

a. Es defineix la matriu $\mathbf{A}_n = (a_{ij})_{n \times n}$ on $a_{ij} = (-1)^{i+j}$ (on $i$ indica la fila i $j$ la columna).

a.

Escriviu de forma explícita les matrius $\mathbf{A}_2$ i $\mathbf{A}_3$.

b.

Demostreu que la matriu $\mathbf{A}_n$ és simètrica per a qualsevol valor de $n > 1$.

c.

Emprant propietats dels determinants, calculeu de manera raonada el determinant $|\mathbf{A}_{10}|$.

Aquest exercici aborda l'estudi de determinades matrius quadrades i la dependència lineal de vectors:

b. Donats els vectors $\vec{a} = (1, 2, 0)$ i $\vec{b} = (0, 3, 4)$, demostreu que el conjunt format per $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}$ és linealment independent.

(,,)