Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2021 · Época especial

A rádio OnOfff é uma rádio local que transmite através da Internet, com recurso a tecnologia de transmissão de áudio e de vídeo em tempo real.

1. Para a eleição da atual direção da rádio OnOfff, composta hierarquicamente por um diretor, um vice-diretor e um adjunto da direção, apresentaram-se trãs candidatos: António, de 27 anos de idade, Bernardo, de 32 anos, e Carla, de 29 anos.

Nesse ato eleitoral, foram apurados 375 votos validamente expressos. No boletim de voto, cada votante escreveu, por ordem decrescente de preferãncia, o nome dos trãs candidatos.

A Tabela 1 apresenta as trãs listas ordenadas de preferãncias estabelecidas pelos eleitores e o número de votos obtido por cada uma das listas.

Concluída a votação, foi aplicado o método a seguir descrito para obter a composição da atual direção.

São atribuídos pontos a cada um dos candidatos em função do seu lugar na ordem da lista de preferãncias. Cada candidato recebe:

cinco pontos por cada voto na primeira preferãncia;

trãs pontos por cada voto na segunda preferãncia;

um ponto por cada voto na terceira preferãncia.

Contabiliza-se a pontuação total de cada um dos candidatos. O mais pontuado é eleito para diretor, o segundo mais pontuado é eleito para vice-diretor, e o terceiro mais pontuado é eleito para adjunto da direção.

No caso de existirem candidatos empatados, os seus lugares na direção são decididos utilizando a idade como critério de desempate. Dos candidatos empatados, o mais velho assumirá o cargo de maior importância.

Indique os nomes dos atuais diretor, vice-diretor e adjunto da direção, aplicando o método acima descrito.

2. Num outro ato eleitoral realizado na rádio OnOfff, apenas uma parte dos 480 eleitores inscritos votou. Finalizada a votação, apenas 75% dos votos foram considerados validamente expressos, por se ter considerado que 96 dos votos recolhidos não eram válidos.

Qual foi a taxa de abstenção registada nesse ato eleitoral?

()

3. No dia em que a rádio OnOfff comemorou o seu quinto aniversário, foi organizado um concurso cujo prémio era um conjunto promocional da Banda YY. O conjunto promocional era constituído por um bilhete para um concerto, uma camisola autografada pelos elementos da banda e um CD.

O vencedor do concurso, dono de uma pequena empresa, ofereceu o prémio aos seus três funcionários, a Dora, a Elsa e o Fernando, e, atendendo à antiguidade dos mesmos na empresa, decidiu que o prémio seria repartido entre eles da seguinte forma: a Dora ficaria com $50\%$ do prémio, a Elsa com $30\%$ e o Fernando com $20\%$.

Como não chegavam a acordo quanto à forma de distribuir os bens do prémio, os três funcionários decidiram partilhá-los utilizando o método seguinte.

1.ª etapa: Cada funcionário atribui um valor monetário a cada um dos bens do prémio, colocando o registo dos valores das suas licitações dentro de um envelope fechado. No final, são abertos os envelopes e são registados, numa tabela, os valores das licitações dos três funcionários.

2.ª etapa: Determina-se a soma das licitações atribuídas ao prémio por cada funcionário, designada valor global, e o valor que cada funcionário considera justo receber, designado porção justa. A porção justa obtém-se, para cada funcionário, através de uma proporção direta entre a percentagem que lhe coube na repartição do prémio e o valor global.

3.ª etapa: Cada bem é atribuído ao funcionário que mais o valoriza, e considera-se que ele recebe o valor que atribui a esse bem. Se um funcionário não receber qualquer bem, considera-se, para efeitos de cálculo, que o valor dos bens recebidos por esse funcionário é zero.

4.ª etapa: Se o valor dos bens recebidos por um funcionário for superior à porção justa por si determinada, apura-se o excedente. Caso contrário, apura-se o défice.

5.ª etapa: (Só é aplicada quando existe dinheiro em excesso.) O excesso irá corresponder à diferença entre o valor total do excedente e o valor total do défice. Este excesso é distribuído a cada funcionário na proporção direta que lhe coube na repartição do prémio.

Na Tabela 2, estão registados os valores monetários atribuídos, nas licitações secretas, por cada um dos funcionários a cada um dos bens.

Tabela 2

Dora

Elsa

Fernando

Bilhete

40 €

34 €

36 €

Camisola

20 €

22 €

26 €

CD

26 €

34 €

28 €

Determine a partilha final do prémio pelos funcionários, aplicando o método descrito, de modo que nenhum dos funcionários tenha razão para reclamar.

Apresente todas as etapas da resolução no espaço seguinte:

4. De modo a garantir o isolamento acústico entre os diferentes espaços onde funciona a rádio OnOfff, cada uma das portas de ligação irá ser calafetada.

Na Figura 1, apresenta-se uma planta em que estão representados os diferentes espaços onde funciona a rádio OnOfff: um pátio, uma receção e seis salas (S1, S2, S3, S4, S5 e S6).

O responsável pela calafetagem das portas pretende definir um percurso com início e fim no pátio, cruzando todas as portas e entrando em todos os espaços, sem cruzar nenhuma porta mais de uma vez.

Justifique se é possível definir um percurso nas condições indicadas.

Na sua resposta, apresente um grafo que modele a situação descrita.

a)

Apresente um grafo que modele a situação descrita:

b)

Justifique se é possível definir o percurso pretendido:

5. O departamento de compras da rádio OnOfff vai adquirir novos equipamentos.

Para garantir o menor custo, o chefe do departamento analisou cada uma das duas alternativas seguintes.

Alternativa 1

Compra online a empresa nacional

Valor do equipamento – 4500 euros

Preço dos portes de acordo com a massa da encomenda

5 euros até 10 kg;

3 euros por cada 10 kg, após os primeiros 10 kg.

Por exemplo, se a encomenda tiver 14 kg, o preço a pagar pelos portes será 8 euros (5 euros pelos primeiros 10 kg, mais 3 euros pela massa acima dos 10 kg e não acima dos 20 kg).

Alternativa 2

Compra online a empresa estrangeira

Valor do equipamento – 4000 euros

Preço dos portes – $20 \times 1{,}03^n$, em que $n$ é a massa da encomenda em quilogramas

Admita que a massa prevista da encomenda é 73 kg.

Indique qual das alternativas será, monetariamente, mais vantajosa.

Apresente todos os cálculos que efetuar.

Na sua resposta:

apresente o custo da aquisição do equipamento para cada uma das alternativas, com arredondamento às centésimas;

caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

€

€

Alternativa 1

Alternativa 2

6. No Dia Internacional da Saúde, a rádio OnOfff lançou aos ouvintes o desafio seguinte: calcularem o seu índice de massa corporal (IMC) e de o enviarem para a rádio.

6.1. O diagrama de caule e folhas da Figura 2 apresenta o IMC dos primeiros 20 ouvintes que responderam ao desafio. No caule, consta o algarismo das dezenas e, nas folhas, o algarismo das unidades de cada registo.

Na Figura 3, apresenta-se a tabela dos valores de referência do IMC e sua classificação.

IMC ($\text{kg/m}^2$) · Classificação

<18,5 · Baixo peso

de 18,5 a 24,9 · Variação normal

de 25,0 a 29,9 · Pré-obesidade

$\mathbf{\ge 30,0}$ · Obesidade

Figura 3

DGS, Programa Nacional de Combate à Obesidade, 17 de março de 2005 (Adaptado)

Qual é a percentagem dos 20 ouvintes considerados cujo IMC não pode ser classificado como variação normal?

()

Os programas da rádio com maior participação dos ouvintes foram «A sua tarde na OnOfff» e «OnOfff night».

As respostas recebidas durante a emissão do programa «A sua tarde na OnOfff» apresentam-se no histograma de frequências absolutas simples, representado no Gráfico 1, organizadas nas classes $[14, 18[$, $[18, 22[$,..., $[30, 34[$.

6.2.1.

Admita que a média dos dados agrupados de IMC apresentados no Gráfico 1 é igual a 24.

Determine o valor de $a$.

Os programas da rádio com maior participação dos ouvintes foram «A sua tarde na OnOfff» e «OnOfff night».

As respostas recebidas durante a emissão do programa «A sua tarde na OnOfff» apresentam-se no histograma de frequências absolutas simples, representado no Gráfico 1, organizadas nas classes $[14, 18[$, $[18, 22[$,..., $[30, 34[$.

6.2.2.

As respostas recebidas durante a emissão do programa «OnOfff night» apresentam-se no histograma de frequências absolutas acumuladas, representado no Gráfico 2, organizadas nas classes $[14, 18[$, $[18, 22[$,..., $[30, 34[$.

Considere $a = 26$.

Apresente uma tabela de frequências absolutas simples para o total das respostas recebidas durante a emissão dos programas «A sua tarde na OnOfff» e «OnOfff night».

Na sua resposta, mantenha as classes utilizadas em ambos os histogramas.

Classe (IMC)

Frequência absoluta simples (Total)

$[14, 18[$

$[18, 22[$

$[22, 26[$

$[26, 30[$

$[30, 34[$

Desde que foi inaugurada, no início do ano 2000, a rádio OnOfff tem cada vez mais ouvintes. Admita que, $t$ anos após a sua inauguração, o número de ouvintes da OnOfff é bem aproximado, com arredondamento às unidades, pelo modelo seguinte.

$$R(t) = 7700 + 1471 \ln (t + 1) \qquad (t \ge 0)$$

7.1. Prove que o número de ouvintes da rádio OnOfff sofreu um aumento superior a 2500, decorridos cinco anos após a inauguração.

Desde que foi inaugurada, no início do ano 2000, a rádio OnOfff tem cada vez mais ouvintes. Admita que, $t$ anos após a sua inauguração, o número de ouvintes da OnOfff é bem aproximado, com arredondamento às unidades, pelo modelo seguinte.

$$R(t) = 7700 + 1471 \ln (t + 1) \qquad (t \ge 0)$$

7.2. O número de ouvintes ultrapassou pela primeira vez a marca dos 12 000 num determinado ano. No início do ano seguinte, procedeu-se à atualização dos equipamentos.

Determine em que ano se procedeu à atualização dos equipamentos.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

o(s) gráfico(s) visualizado(s);

as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às décimas.

(

;

)

8. Realizado um estudo junto dos funcionários da rádio OnOfff, concluiu-se que:

$80\%$ dos funcionários trabalham a partir de casa;

de entre os funcionários que trabalham a partir de casa, metade colabora em programas emitidos diariamente;

$5\%$ dos funcionários não trabalha a partir de casa e não colabora em programas emitidos diariamente.

Escolhe-se ao acaso um dos funcionários da rádio OnOfff.

Determine a probabilidade de o funcionário selecionado colaborar em programas emitidos diariamente.

Apresente o resultado na forma de dízima.

9. O tempo diário, em minutos, durante o qual os ouvintes acompanham a emissão da rádio OnOfff segue uma distribuição aproximadamente normal de valor médio 40 minutos e desvio padrão 10 minutos.

Escolhe-se ao acaso um dos ouvintes da rádio OnOfff.

Determine a probabilidade de esse ouvinte, num dia, acompanhar a emissão da rádio OnOfff entre 50 minutos e uma hora.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve quatro casas decimais.

10. A rádio OnOfff emite podcasts sobre temáticas variadas.

Para determinar intervalos de confiança para o número médio de podcasts emitidos por semana pela rádio OnOfff, constituiu-se uma amostra com dados relativos a mais de 30 semanas.

10.1.

Admita que o intervalo de confiança a 95% para o número médio de podcasts emitidos por semana é $]13,86; 14,5[$.

A margem de erro associada a este intervalo de confiança é igual a

()

10.2.

Admita que os dados da amostra correspondem a 100 semanas e que o número médio de podcasts emitidos por semana é igual a 12 e o desvio padrão é igual a 2,1.

Determine o intervalo de confiança a 90% para o número médio de podcasts emitidos por semana pela rádio OnOfff.

Apresente os extremos do intervalo de confiança, com arredondamento às décimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.