Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2022 · Época especial

1. Um clube vai participar na final da Taça Amizade. Dispõe de 710 convites para distribuir pelos sócios dos seus três núcleos, A, B e C.

A distribuição desses convites é feita de acordo com o método a seguir descrito.

Calcula-se o divisor padrão, dividindo o número total de sócios dos três núcleos pelo número total de convites.

Calcula-se a quota padrão para cada um dos núcleos, dividindo o número de sócios de cada núcleo pelo divisor padrão.

Atribui-se a cada núcleo um número de convites igual à parte inteira da quota padrão.

Caso ainda fiquem convites por distribuir, atribuem-se os convites que restam aos núcleos cujas quotas padrão tenham partes decimais maiores (um por cada núcleo).

Se houver dois núcleos cujas quotas padrão apresentem a mesma parte decimal, o último convite é atribuído ao núcleo com o menor número de convites.

Na Tabela 1, está registado o número de sócios de cada núcleo.

Tabela 1 Núcleo · Número de sócios

A · 938

B · 1152

C · 395

* 1.1.

Suponha que o núcleo A dispensava os 268 convites que, aplicando o método descrito, lhe seriam atribuídos e que estes eram distribuídos, de forma diretamente proporcional ao número de sócios, pelos outros dois núcleos.

Quantos destes convites seriam atribuídos ao núcleo C?

1. Um clube vai participar na final da Taça Amizade. Dispõe de 710 convites para distribuir pelos sócios dos seus três núcleos, A, B e C.

A distribuição desses convites é feita de acordo com o método a seguir descrito.

Calcula-se o divisor padrão, dividindo o número total de sócios dos três núcleos pelo número total de convites.

Calcula-se a quota padrão para cada um dos núcleos, dividindo o número de sócios de cada núcleo pelo divisor padrão.

Atribui-se a cada núcleo um número de convites igual à parte inteira da quota padrão.

Caso ainda fiquem convites por distribuir, atribuem-se os convites que restam aos núcleos cujas quotas padrão tenham partes decimais maiores (um por cada núcleo).

Se houver dois núcleos cujas quotas padrão apresentem a mesma parte decimal, o último convite é atribuído ao núcleo com o menor número de convites.

Na Tabela 1, está registado o número de sócios de cada núcleo.

Tabela 1 Núcleo · Número de sócios

A · 938

B · 1152

C · 395

1.2. Admita que houve uma entrada recente de novos sócios nos núcleos A e B, havendo necessidade de redistribuir os 710 convites.

Na Tabela 2, está registado o novo número de sócios de cada núcleo.

Tabela 2

Núcleo

Número de sócios

A

939

B

1159

C

395

Total

2493

Determine o número de convites que cada núcleo recebeu após a entrada dos novos sócios, aplicando o método descrito.

Na sua resposta, apresente o valor do divisor padrão e os valores das quotas padrão, com arredondamento às centésimas.

2. Um jornal desportivo convidou os leitores a participarem na eleição do melhor jogador de futebol de 2021, de entre os jogadores P, Q, R e S.

Cada leitor ordenou, uma única vez, os quatro jogadores, de acordo com a sua preferência. A ordenação efetuada por cada leitor corresponde a um voto. Foram apurados 1200 votos válidos.

A Tabela 3 encontra-se parcialmente preenchida com as listas de preferências obtidas.

Tabela 3

Lista 1

Lista 2

Lista 3

200 votos

400 votos

600 votos

1.ª Preferência

P

2.ª Preferência

P

3.ª Preferência

S

P

4.ª Preferência

S

Concluída a votação, para se obter a decisão final, foi aplicado o método a seguir descrito.

São atribuídos pontos a cada um dos jogadores, em função do seu lugar nas listas de preferências. Cada jogador recebe:

quatro pontos por cada voto na primeira preferência;

três pontos por cada voto na segunda preferência;

dois pontos por cada voto na terceira preferência;

um ponto por cada voto na quarta preferência.

Contabiliza-se a pontuação total de cada um dos jogadores.

O jogador que obtiver a pontuação total mais elevada será eleito o melhor jogador de futebol de 2021.

Admita que, após o apuramento da pontuação total de cada jogador, se verificou que:

– o jogador Q obteve um total de 1400 pontos;

– o jogador S obteve uma pontuação total inferior à do jogador P.

Apresente a ordenação dos jogadores P, Q, R e S na Lista 3.

Na sua resposta, apresente todas as justificações e todos os cálculos efetuados.

1.ª:

2.ª:

3.ª:

4.ª:

3. Com o intuito de avaliar as condições de segurança de alguns estádios de futebol, uma comissão vai proceder à sua inspeção.

Na Tabela 4, para cada um dos sete estádios passíveis de inspeção, estão indicados o país onde o estádio se localiza e a sua capacidade.

Tabela 4 País onde o estádio se localiza · Capacidade do estádio

África do Sul · 94 736

Austrália · 83 500

Coreia do Norte · 114 000

Espanha · 99 354

França · 81 338

Inglaterra · 90 000

México · 87 000

A comissão decidiu inspecionar apenas os estádios com capacidade superior a 85 000 espectadores.

De modo a definir um percurso, considerou a duração do voo entre os diferentes países que se apresentam na Tabela 5.

Tabela 5 · Austrália · Coreia do Norte · Espanha · França · México · Inglaterra

África do Sul · 14h13 · 15h57 · 10h25 · 11h22 · 18h38 · 11h46

Austrália · · 11h50 · 21h52 · 21h35 · 16h38 · 21h38

Coreia do Norte · · · 12h12 · 11h24 · 15h26 · 11h16

Espanha · · · · 1h32 · 12h18 · 1h55

França · · · · · 11h56 · 5h24

México · · · · · · 11h36

O percurso será definido atendendo ao método seguinte:

escolher o menor tempo de voo, qualquer que ele seja;

escolher, sucessivamente, os menores tempos de voo, garantindo que não são selecionados mais de dois voos que partam do mesmo país ou que cheguem ao mesmo país, e terminar depois de serem selecionados todos os países onde se localizam os estádios a inspecionar.

Apresente o percurso a efetuar pela comissão, com início na África do Sul.

Na sua resposta, apresente:

um grafo que resulte da aplicação do algoritmo descrito;

a ordem pela qual a comissão visitará os estádios.

4. Uma atleta de alta competição precisa de adquirir um novo equipamento para as suas provas.

Dado o elevado custo do equipamento, contraiu um empréstimo nas condições seguintes.

Valor financiado: $1200\text{ €}$.

Prazo de pagamento: dois anos.

Taxa de juro sobre o valor financiado: $16\%$.

Pagamento: prestações mensais constantes.

Determine o valor da prestação mensal que a atleta terá de pagar.

€

5. O Campeonato Mundial de Fórmula 1 é composto por várias corridas, denominadas Grandes Prémios (GP), que se realizam em países diferentes.

No final de cada GP, são atribuídos pontos aos pilotos, até à 10.ª posição, em função do lugar em que cada um terminou a prova.

Na Tabela 6, está representado o sistema de pontuação utilizado.

Tabela 6

Lugar · 1.º · 2.º · 3.º · 4.º · 5.º · 6.º · 7.º · 8.º · 9.º · 10.º

Pontos · 25 · 18 · 15 · 12 · 10 · 8 · 6 · 4 · 2 · 1

5.1. Um piloto obteve 58 pontos nos três primeiros GP.

Por quantas vezes, no máximo, pode ter ficado em segundo lugar?

()

5.2. Em cada temporada do Campeonato Mundial de Fórmula 1, é definida previamente a ordem dos GP.

Numa determinada temporada, o GP da Austrália foi o primeiro a realizar-se, seguindo-se os da Espanha, do Canadá, do Reino Unido, da Itália, da França e do Japão.

Na Figura 1, está registada a variação do número de pontos obtidos por Mike, um dos pilotos, em cada GP, em relação ao número de pontos obtidos no GP imediatamente anterior.

5.2.1. No GP do Reino Unido, Mike obteve 18 pontos.

Determine o número médio de pontos obtidos por este piloto nos quatro últimos GP apresentados na Figura 1.

5.2. Em cada temporada do Campeonato Mundial de Fórmula 1, é definida previamente a ordem dos GP.

Numa determinada temporada, o GP da Austrália foi o primeiro a realizar-se, seguindo-se os da Espanha, do Canadá, do Reino Unido, da Itália, da França e do Japão.

Na Figura 1, está registada a variação do número de pontos obtidos por Mike, um dos pilotos, em cada GP, em relação ao número de pontos obtidos no GP imediatamente anterior.

5.2.2. As condições meteorológicas podem limitar a realização dos GP, inviabilizando a realização da totalidade das voltas previstas. Caso uma corrida termine antes de se efetuar um número de voltas correspondente a 70% do total de voltas previstas, atribui-se a cada um dos dez primeiros pilotos metade dos pontos apresentados na Tabela 6, arredondados às unidades.

Admita que:

o total de voltas do GP da Espanha é 66 e que, devido a condições adversas, só foram realizadas 45 voltas;

Mike obteve o primeiro lugar no GP da Austrália, onde se percorreram todas as voltas previstas.

Determine o lugar em que Mike terminou o GP da Espanha.

6. A canoagem é um desporto náutico praticado com uma canoa ou com um caiaque.

Uma das modalidades deste desporto é a canoagem de velocidade, na qual se insere a prova K1 1000 m. Nesta prova, a embarcação, um caiaque, tem apenas um lugar (K1), como se representa na Figura 2, devendo o atleta percorrer 1000 metros.

Um atleta participou numa prova de canoagem K1 1000 m.

Admita que, enquanto a prova decorreu, a distância, $D$, percorrida pelo seu caiaque, em metros, $t$ segundos após o início da prova, é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às centésimas.

$$D(t) = -3680 + 1840 \log(t + 100) \qquad t \ge 0 \quad (\log \text{ designa o logaritmo de base } 10)$$

Assim, por exemplo, como $D(3) \approx 23{,}62049$, a distância percorrida pelo caiaque do atleta, 3 segundos após o início da prova, foi, aproximadamente, 23,62 metros.

6.1. Perante os dados recolhidos, o atleta afirmou:

«Fui mais rápido nos primeiros cinco segundos da prova do que nos cinco segundos seguintes.»

Justifique a afirmação do atleta, baseando-se no modelo apresentado.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

6. A canoagem é um desporto náutico praticado com uma canoa ou com um caiaque.

Uma das modalidades deste desporto é a canoagem de velocidade, na qual se insere a prova K1 1000 m. Nesta prova, a embarcação, um caiaque, tem apenas um lugar (K1), como se representa na Figura 2, devendo o atleta percorrer 1000 metros.

Um atleta participou numa prova de canoagem K1 1000 m.

Admita que, enquanto a prova decorreu, a distância, $D$, percorrida pelo seu caiaque, em metros, $t$ segundos após o início da prova, é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às centésimas.

$$D(t) = -3680 + 1840 \log(t + 100) \qquad t \ge 0 \quad (\log \text{ designa o logaritmo de base } 10)$$

Assim, por exemplo, como $D(3) \approx 23{,}62049$, a distância percorrida pelo caiaque do atleta, 3 segundos após o início da prova, foi, aproximadamente, 23,62 metros.

6.2. O recorde mundial desta prova é 3 minutos e 15 segundos.

Qual é a diferença entre o tempo alcançado pelo atleta e o recorde mundial?

Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

o(s) gráfico(s) visualizado(s);

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às décimas.

a)

b)

s

c)

s

7. O Alexandre é um jogador profissional de ténis e tem uma equipa técnica que o acompanha e que recolhe dados diversos.

7.1. Os torneios de ténis podem ser disputados em diferentes tipos de piso, nomeadamente em piso sintético ou em piso de terra batida.

Dos adversários que o Alexandre enfrentará num torneio de ténis, sabe-se que:

90% venceram torneios disputados em piso sintético ou em piso de terra batida;

60% nunca venceram torneios disputados em piso de terra batida.

Qual é a probabilidade de o próximo adversário do Alexandre ter vencido torneios disputados em piso sintético e nunca ter vencido torneios disputados em piso de terra batida?

()

7.2. Ao começar uma partida, o Alexandre faz uma primeira tentativa para colocar a bola em jogo (primeiro serviço). Se não for bem-sucedido, pode ainda fazer uma segunda tentativa (segundo serviço). Quando a bola está em jogo, disputa-se um ponto entre os jogadores.

A equipa técnica recolhe dados que incidem na proporção de primeiros serviços bem-sucedidos e na proporção de vezes em que o Alexandre pontua, conforme foi, ou não, bem-sucedido no primeiro serviço.

Na Figura 3, apresenta-se a recolha de dados efetuada pela equipa técnica.

Determine a probabilidade de, tendo colocado uma bola em jogo, o Alexandre pontuar.

Apresente o resultado na forma de dízima.

7.3. A equipa técnica analisou a eficácia do Alexandre ao defender o serviço dos seus adversários.

Com base nos dados, determinou que a probabilidade de o atleta conseguir defender um serviço dos seus adversários é $0{,}6$.

Considere que o Alexandre vai tentar defender dois serviços dos seus adversários.

Determine a probabilidade de o Alexandre conseguir defender, no máximo, um serviço dos seus adversários.

Num jogo de basquetebol, verificou-se que, numa amostra de $225$ espectadores aleatoriamente selecionados no recinto desportivo, $81$ tinham comprado online o ingresso para o jogo.

Determine um intervalo de confiança a $99\%$ para a proporção de espectadores que adquiriram online o ingresso para o jogo.

Apresente os extremos do intervalo de confiança com arredondamento às centésimas.

Na sua resposta: utilize a calculadora apenas para efetuar cálculos numéricos;

caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve quatro casas decimais.