Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2023 · 1.ª fase

Todos os anos, na freguesia de Avelares, realiza-se a Festa da Freguesia. A organização da festa é da responsabilidade de uma comissão formada por 15 moradores da freguesia, garantindo-se que exista uma proporção representativa do número de moradores das três zonas em que esta se divide, Zona Norte (N), Zona Centro (C) e Zona Sul (S).

Os moradores de cada uma das zonas, interessados em pertencer à comissão, começam por se inscrever.

No total, este ano, 105 moradores da freguesia inscreveram-se para fazer parte da comissão.

Na Figura 1, encontra-se organizada, por zonas da freguesia, a contagem dessas 105 inscrições.

A composição da comissão resulta da aplicação do método a seguir descrito.

1.º passo: Calcula-se o divisor padrão, dividindo-se o número total de pessoas inscritas pelo número de pessoas que fará parte da comissão.

2.º passo: Calcula-se a quota padrão de cada zona, dividindo-se pelo divisor padrão o número de pessoas inscritas de cada zona.

3.º passo: Se a quota padrão de uma zona for um número inteiro, atribui-se essa quota a essa zona.

4.º passo: Se a quota padrão de uma zona não for um número inteiro, calcula-se $\sqrt{L(L+1)}$, sendo $L$ o maior número inteiro menor do que a quota padrão.

5.º passo: Se a quota padrão de uma zona for menor do que $\sqrt{L(L+1)}$, atribui-se a essa zona uma quota modificada igual ao maior número inteiro menor do que a quota padrão; se a quota padrão de uma zona for maior do que $\sqrt{L(L+1)}$, atribui-se a essa zona uma quota modificada igual ao resultado da adição de 1 com o maior número inteiro menor do que a quota padrão. O número de pessoas a selecionar por cada zona, cuja quota padrão não for um número inteiro, é igual à respetiva quota modificada.

Indique a constituição da comissão, resultante da aplicação do método descrito, determinando o número de pessoas de cada zona.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve uma casa decimal.

2. No recinto da Festa da Freguesia, existem 5 expositores, $L$, $M$, $N$, $O$ e $P$, que estão ligados por troços pedonais, como se pode observar na Figura 2.

2.1.

O presidente da junta de freguesia pretende visitar todos os expositores, sem repetir nenhum deles, iniciando a visita no expositor $L$.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço.

O presidente da junta de freguesia verificou que existem percursos possíveis, mas, se quiser visitar o expositor $N$ depois de visitar o expositor $O$, apenas existe(m) percurso(s) possível(is).

Verificou também que não poderia visitar o expositor $M$ imediatamente a seguir ao expositor e que, imediatamente a seguir a visitar o expositor $N$, poderia visitar o expositor.

2.2.

No final de cada dia, o Rui verifica se todos os expositores, $L$, $M$, $N$, $O$ e $P$, e o restaurante, $R1$, ficam devidamente encerrados.

Na Tabela 1, estão indicados os comprimentos, em metros, dos troços pedonais que ligam os diferentes espaços.

Tabela 1 · $L$ · $M$ · $N$ · $O$ · $P$ · $R1$

$L$ · · 284 · 401 · 375 · 356

$M$ · 284 · · · 255 · 270 · 253

$N$ · 401 · · · 260

$O$ · 375 · 255 · 260 · · 200 · 250

$P$ · 356 · 270 · · 200 · · 214

$R1$ · · 253 · · 250 · 214

O Rui deve iniciar a verificação no restaurante, $R1$.

Para definir o percurso, utiliza o método seguinte: Seleciona o espaço a visitar em seguida, tendo em conta que: deve ser o mais próximo possível;

se houver dois espaços à mesma distância, a seleção é aleatória.

Procede como foi indicado no ponto anterior, não repetindo nenhum espaço, e termina depois de ter verificado todos os espaços.

Determine a distância, em metros, percorrida pelo Rui.

Na sua resposta, apresente: um grafo ponderado que resulte da aplicação do método descrito;

o percurso que respeita as condições definidas.

3. A Mariana é uma funcionária da junta de freguesia de Avelares que, após ser promovida, passou a auferir um salário bruto de 1500 euros. O salário bruto, também designado por remuneração mensal, é o salário antes de quaisquer descontos e não inclui o subsídio de refeição.

Admita que o salário líquido, valor monetário que a Mariana efetivamente recebe, resulta da aplicação da fórmula de cálculo seguinte:

$$SL = SB + SR - SS - RF$$

Em que:

$SL$ é o salário líquido, em euros;

$SB$ é o salário bruto, em euros;

$SR$ é o subsídio de refeição, em euros, que corresponde a 5,2 euros por cada dia de trabalho realizado durante o mês;

$SS$ é a contribuição para a Segurança Social, em euros, que corresponde a 11% do salário bruto;

$RF$ é a retenção na fonte, em euros, calculada sobre o salário bruto, com base nos dados publicados, anualmente.

A Tabela 2 é a tabela que a Mariana consulta para saber qual o valor da taxa de retenção na fonte aplicada ao seu salário bruto.

Por exemplo, segundo esta tabela, a um salário bruto, no valor de 1300 euros, de um trabalhador com quatro dependentes, será aplicada a taxa de retenção na fonte de 9,0%.

Admita que a Mariana tem dois dependentes e que, no próximo mês, trabalhará 22 dias.

Determine o valor do salário líquido da Mariana no próximo mês.

Dois amigos, o Augusto e o Joaquim, todos os anos compram, a meias, um conjunto de rifas. Num certo ano, ganharam os prémios X, Y e Z.

Como não chegaram a acordo sobre a divisão dos três prémios, resolveram aplicar o método a seguir descrito.

Cada um dos amigos atribui, secretamente, um certo número de pontos a cada um dos três prémios, num total de 100 pontos.

Cada prémio é destinado, temporariamente, ao amigo que mais o valoriza.

Determina-se o total de pontos do(s) prémio(s) temporariamente destinado(s) a cada um dos amigos. Se o total de pontos for igual, a partilha está concluída. Caso contrário, procede-se ao ajuste da partilha, de modo que os dois amigos fiquem com número igual de pontos, no total, através da partilha de um dos prémios.

Para se efetuar o ajuste da partilha, o prémio a partilhar pelos amigos será, de entre os atribuídos ao amigo com total de pontos mais elevado, aquele que tiver menor diferença de pontos atribuídos.

Seja A o amigo com o total de pontos mais elevado e seja B o outro amigo. O total final de pontos a atribuir ao amigo A corresponde à diferença entre o total temporário dos seus pontos e x por cento dos pontos por ele atribuídos ao prémio a partilhar.

O total final de pontos a atribuir ao amigo B corresponde à soma do total temporário dos seus pontos com x por cento dos pontos por ele atribuídos ao prémio a partilhar.

Igualam-se os dois totais finais, de modo a determinar o valor de x, com o qual a partilha ficará equilibrada.

O amigo B fica com o(s) prémio(s) a si destinado(s) e x por cento do prémio a partilhar, e o amigo A fica com o restante.

Na Tabela 3, apresenta-se o número de pontos atribuído aos três prémios por cada um dos amigos.

Tabela 3

X

Y

Z

Augusto

32

38

30

Joaquim

24

51

25

Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço.

O prémio temporariamente destinado ao Joaquim foi o prémio

,

sendo o total de pontos dos prémios temporariamente destinados ao Augusto igual a

.

O prémio a utilizar no ajuste da partilha é o prémio

.

Na partilha final dos prémios, o Augusto terá direito a

desse prémio.

O número de habitantes da freguesia de Avelares, decorridas $t$ décadas após o início do ano 1970, é bem aproximado pelo modelo seguinte

$$A(t) = \frac{10\,566}{1 + 5e^{-0{,}8t}}, \quad t \ge 0$$

5.1.

Em qual dos intervalos de tempo o crescimento da população foi mais acentuado?

5.3.

O número de habitantes da freguesia de Bileira, uma freguesia vizinha de Avelares, decorridas $t$ décadas após o início do ano 1970, é bem aproximado pelo modelo seguinte:

$$B(t) = \frac{a}{1 + 4e^{-0{,}7t}}, \quad t \ge 0 \text{ e } a \text{ número real positivo. }$$

De acordo com os modelos apresentados, as freguesias de Avelares e Bileira tinham o mesmo número de habitantes no início do ano 1970.

Determine o número de habitantes da freguesia de Bileira, com arredondamento às unidades, no início do ano de 2020.

Na sua resposta, comece por determinar o valor de $a$.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve seis casas decimais.

O número de habitantes da freguesia de Avelares, decorridas $t$ décadas após o início do ano 1970, é bem aproximado pelo modelo seguinte

$$A(t) = \frac{10\,566}{1 + 5e^{-0{,}8t}}, \quad t \ge 0$$

Na década em que o número de habitantes da freguesia atingiu os cinco milhares, o centro de saúde de Avelares sofreu uma ampliação.

Prove que a ampliação do centro de saúde de Avelares ocorreu durante a década de 80.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

o(s) gráfico(s) visualizado(s);

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

Uma das atrações da Festa da Freguesia é a quermesse, onde se podem comprar rifas.

Considere que, num conjunto de 200 rifas:

120 são verdes;

um quarto das rifas verdes são rifas premiadas;

das rifas premiadas, há tantas verdes quantas as que não são verdes.

Escolhe-se, aleatoriamente, uma rifa daquele conjunto de 200.

Determine a probabilidade de a rifa escolhida não ser premiada, sabendo-se que não é verde.

Apresente a sua resposta na forma de dízima.

* 7. De acordo com um estudo, o tempo que cada cliente aguarda até ser atendido na zona de restauração da Festa da Freguesia segue uma distribuição aproximadamente normal, de valor médio $15$ minutos, sendo a probabilidade de um cliente aguardar entre $7$ e $23$ minutos até ser atendido igual a $0{,}9545$.

Considere que, num determinado dia, foram atendidos $1550$ clientes.

Determine quantos desses clientes é de esperar que aguardem entre $11$ e $15$ minutos até serem atendidos.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

Na sua resposta, apresente, justificando, o valor do desvio padrão.

clientes

8. No ano passado, a Festa da Freguesia teve a duração de catorze dias, consecutivos, correspondendo a duas semanas completas. A festa começou no domingo, dia 7, e terminou no sábado, dia 20.

Na Tabela 4, apresentam-se os dados das temperaturas (T), mínima e máxima, em graus Celsius (°C), e da precipitação acumulada diária (P), em milímetros (mm), para cada dia da primeira semana da festa.

8.1.

Em qual das opções seguintes está representado, para a primeira semana, o gráfico de variação da temperatura máxima, relativamente ao dia anterior?

A

B

C

D

8.2.

Associe a cada conjunto de dados apresentados na Coluna I (e registados na Tabela 4) as afirmações da Coluna II que lhe correspondem.

Cada um dos números, de 1 a 7, deve ser associado apenas a uma letra, e todos os números devem ser utilizados.

Escreva a letra correspondente (a, b ou c) para cada uma das afirmações da Coluna II:

Coluna I

Coluna II

Letra (a, b, c)

(a) Dados da temperatura mínima

(1) O conjunto dos dados é o que apresenta média inferior à mediana.

(2) O conjunto dos dados é o que apresenta o primeiro quartil igual à mediana.

(b) Dados da temperatura máxima

(3) Num par de dias consecutivos, são os únicos dados que apresentam um valor decrescente, enquanto os outros apresentam um valor crescente.

(4) O conjunto dos dados é amodal.

(c) Dados da precipitação acumulada diária

(5) O conjunto dos dados é o que apresenta menor dispersão em relação à média.

(6) A amplitude dos dados é igual a 6.

(7) A percentagem dos dados acima da sua média é inferior a 30%.

8.3.

Admita que, comparando a temperatura máxima registada no domingo, dia 7, com a temperatura máxima registada no domingo, dia 14; comparando a temperatura máxima registada na segunda-feira, dia 8, com a temperatura máxima registada na segunda-feira, dia 15, e assim sucessivamente, as mesmas diminuíram exatamente o mesmo valor em graus Celsius.

Considere que a média das temperaturas máximas registadas na freguesia de Avelares durante os catorze dias da Festa da Freguesia foi 25,5 °C.

Qual foi a descida, em graus Celsius, da temperatura máxima, comparando a temperatura máxima registada no domingo, dia 7, com a temperatura máxima registada no domingo, dia 14?

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

9. Ao longo dos anos, tem-se registado uma elevada afluência à Festa da Freguesia.

Para estimar a proporção de visitantes que visitaram a Festa da Freguesia pela primeira vez em 2022, realizou-se um estudo.

Para esse estudo, recorreu-se a uma amostra aleatória de visitantes da festa, em 2022. A cada visitante foi perguntado se era a primeira vez que visitava a festa ou se já o fizera antes; a estes últimos, foi pedido que indicassem o número de anos distintos em que haviam visitado a festa (incluindo o ano em que o estudo se realizou).

No Gráfico 1, apresentam-se os resultados obtidos.

Determine o intervalo de confiança a 90% para a proporção de visitantes da Festa da Freguesia que a visitaram pela primeira vez em 2022.

Apresente os extremos do intervalo de confiança, com arredondamento às centésimas.